Данный метод является представителем класса приближенных методов

Идея метода чрезвычайно проста и сводится к процедуре последова-

тельных приближений для решения интегрального уравнения, к которому

приводится исходное дифференциальное уравнение.

Пусть поставлена задача Коши

,

Проинтегрируем выписанное уравнение

. (5.2)

Процедура последовательных приближений метода Пикара реализуется согласно следующей схеме

, (5.3)

Пример . Решить методом Пикара уравнение

,

Решение этого уравнения не выражается через элементарные функции.

,

Видно, что при ряд быстро сходится. Метод удобен, если интегралы можно взять аналитически.

Докажем сходимость метода Пикара. Пусть в некоторой ограниченной

области правая частьнепрерывна и, кроме того, удовлетворяет условию Липшица по переменнойт.е.

где - некоторая константа.

В силу ограниченности области имеют место неравенства

Вычтем из (5.3) формулу (5.2), получим для модулей правой и левой

,

.

Окончательно, используя условие непрерывности Липшица, получим

, (5.4)

где - погрешность приближенного решения.

Последовательное применение формулы (5.4) при дает следующую цепочку соотношений при учете того, что

,

,

.

Т.к. , то имеем

.

Заменяя по формуле Стирлинга, окончательно получим оценку погрешности приближенного решения

. (5.5)

Из (5.4) следует, что при модуль погрешности, т.е.

приближенное решение равномерно сходится к точному.

5.2.2. Методы Рунге-Кутта

Данные методы являются численными.

На практике применяются методы Рунге-Кутта, обеспечивающие пост-

роение разностных схем (методов) различного порядка точности. Наиболее

употребительны схемы (методы) второго и четвертого порядков. Их мы и

рассмотрим ниже.

Предварительно введем некоторые понятия и определения. Сеткой на

отрезке называется фиксированное множество точек этого отрезка.

Функция, определенная в данных точках, называется сеточной функцией.

Координаты точек удовлетворяют условиям

Точки являются узлами сетки. Равномерной сеткой наназывается множество точек

, ,

где - шаг сетки.

При решении дифференциальных уравнений приближенным методом основным является вопрос о сходимости. Применительно к разностным методам традиционно более употребительно понятие сходимости при . Обозначим значения сеточной функциизначения точного решения дифференциального уравнения (5.1) в узле-(являются приближенными значениями). Сходимость приозначает следующее. Фиксируем точкуи строим совокупность сетоктаким образом, чтои(при этом). Тогда считают, что численный метод сходится в точке, если

при ,. Метод сходится на отрезке, если он сходится в каждой точке. Говорят, что метод имеет-й порядок точности, если можно найти такое число, чтопри.

Введем далее понятие невязки или погрешности аппроксимции разностного уравнения, заменяющего заданное дифференциальное уравнение, на решении исходного уравнения, т.е. невязка представляет собой результат подстановки точного решения уравнения (5.1)в разностное уравнение. Например, (5.1) можно заменить следующим простейшим разностным уравнением

, .

Тогда невязка определится следующим выражением

.

Приближенное решение не совпадает вообще говоря с , поэтому невязкав-ой точке не равна нулю. Вводят следующее определение: численный метод аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение, еслипри, и имеет-й порядок точности, если.

Доказывается, что порядок точности численного метода решения дифференциального уравнения совпадает с порядком аппроксимации при достаточно общих предположениях.

Теперь перейдем к анализу схем Рунге-Кутта. Сначала обратимся к

схемам второго порядка точности.

Используя формулу Тейлора, решение дифференциального уравнения

(5.1) можно представить в виде

, (5.6)

где обозначено ,,.

Отметим, что согласно (5.1) ,.

производную следующим образом

,

где - пока неизвестные величины. Пусть

Обозначим приближенное значение решения в узле с номером через(именно это решение будет получаться после того, как мы ограничим ряд членами с порядком не выше второго).

Введенные здесь параметры иподлежат определению.

Разлагая правую часть в ряд Тейлора и приводя подобные члены, получим

последовательно

Условием выбора параметров ипоставим близость выраже-

ния (5.7) ряду (5.6), тогда

, ,.

Один параметр остается свободным. Пусть это будет , тогда

, ,

и окончательно из (5.7) с учетом найденных отношений для и

Соотношение (5.8) описывает однопараметрическое семейство двучленных формул Рунге-Кутта.

В специальной литературе доказывается, что если непрерывна и ограничена вместе со своими вторыми производными, то приближенное решение схемы (5.8) равномерно сходится к точному решению с погрешностью, т.е. схема (5.8) обладает вторым порядком точности.

В практике расчетов используют формулы (5.8) при значениях параметра ,.

Из (5.8) выводим

Применение формулы (5.9) сводится к следующей последовательности шагов:

1. Вычисляется грубо значение функции (по схеме ломаных)

2. Определяется наклон интегральной кривой в точке ()

3. Находится среднее значение производной функции на шаге

4. Рассчитывается значение функции в ()-м узле

Данная схема имеет специальное название "предиктор - корректор".

Согласно (5.8) получаем

Задача решается посредством следующих шагов:

1. Вычисляется значение функции в половинном узле

.

2.Определяется значение производной в узле

.

3. Находится значение функции в ()-м узле

Помимо рассмотренных выше двучленных схем широкое распространение в практике расчетов имеют схемы Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Ниже даются без вывода соответствующие формулы

(5.10)

Схемы с большим числом членов практически не применяются. Пяти-

членные формулы обеспечивают четвертый порядок точности, шестичленные формулы имеют шестой порядок, но их вид весьма сложен.

Погрешности приведенных схем Рунге-Кутта определяются максималь-

ными значениями соответствующих производных.

Оценку погрешностей легко получить для частного случая правой

части дифференциального уравнения

.

В этом случае решение уравнения может быть сведено к квадратуре и

все схемы разностного решения переходят в формулы численного интегри-

рования. Например, схема (5.9) принимает вид

,

то есть имеет вид формулы трапеций, а схема (5.10) переходит в схему

представляющую собой формулу Симпсона с шагом .

Мажорантные оценки погрешности формул трапеций и Симпсона известны (см. раздел 3.2). Из (3.4) и (3.5) видно, что точность схем Рунге-Кутта достаточно высока.

Выбор той или иной из приведенных схем для решения конкретной за-

дачи определяется следующими соображениями. Если функция в

правой части уравнения непрерывна и ограничена, а также непрерывны и

ограничены ее четвертые производные, то наилучший результат достигает-

ся при использовании схемы (5.10). В том случае, когда функция

не имеет названных выше производных, предельный (четвертый) порядок

схемы (5.10) не может быть достигнут, и целесообразным оказывается

применение более простых схем.

Помимо схем Рунге-Кутта практический интерес представляют многошаговые методы, которые можно описать следующей системой уравнений

где , а- числовые коэффициенты,,.

Согласно данному уравнению расчет начинается с . В этом случае получается соотношение вида

т.е. для начала счета надо иметь начальных значений,. Эти значенияприходится вычислять каким-либо другим методом, например, методом Рунге-Кутта.

Среди многошаговых методов наиболее распространен метод Адамса, схема реализации которого следует из (5.11) при идля:

.

При метод Адамса оказывается явным, а при- неявным.

Метод Пикара Пикар Шарль Эмиль (1856-1941) -- французский математик.

Этот метод позволяет получить приближенное решение дифференциального уравнения (1) в виде функции, представленной аналитически.

Пусть в условиях теоремы существования требуется найти решение уравнения (1) с начальным условием (2). Проинтегрируем левую и правую части уравнения (1) в границах от до:

Решение интегрального уравнения (9) будет удовлетворять дифференциальному уравнению (1) и начальному условию (2). Действительно, при, получим:

Вместе с тем, интегральное уравнение (9) позволяет применить метод последовательных приближений. Будем рассматривать правую часть формулы (9) как оператор, отображающий всякую функцию (из того класса функций, для которых интеграл, входящий в (9), существует) в другую функцию того же класса:

Если этот оператор является сжимающим (что следует из условия теоремы Пикара), то можно строить последовательность приближений, сходящуюся к точному решению. В качестве начального приближения принимается, и находится первое приближение

Интеграл в правой части содержит только переменную x; после нахождения этого интеграла будет получено аналитическое выражение приближения как функции переменной x. Далее заменим в правой части уравнения (9) y найденным значением и получим второе приближение

и т.д. В общем случае итерационная формула имеет вид

(n=1, 2…) (10)

Циклическое применение формулы (10) дает последовательность функций

сходящуюся к решению интегрального уравнения (9) (а, следовательно, и дифференциального уравнения (1) с начальными условиями (2)). Это так же обозначает, что k-й член последовательности (11) является приближением к точному решению уравнения (1) с определенной контролируемой степенью точности.

Заметим, что при пользовании методом последовательных приближений аналитичность правой части дифференциального уравнения не обязательна, поэтому метод этот можно применять и в тех случаях, когда разложение решения дифференциального уравнения в степенной ряд невозможно.

Погрешность метода Пикара

Оценка погрешности k-го приближения дается формулой

где y(x) - точное решение, - константа Липшица из неравенства (4).

На практике метод Пикара используется очень редко. Одна из причин - та, что интегралы, которые необходимо вычислять при построении очередных приближений, чаще всего аналитически не находятся, а применение их для вычисления численных методов так усложняет решение, что становится гораздо удобнее непосредственно применять другие методы, которые изначально являются численными.

Примеры решения задачи в Maple

Задача №1: Методом последовательных приближений найти значение, где - решение дифференциального уравнения: удовлетворяющее начальному условию, на отрезке, приняв шаг (расчет вести до второго приближения).

Дано: - дифференциальное уравнение

Начальное условие

Интервал

Найти: значение

Решение:

> y1:=simplify (1+int (x+1, x=0…x));

> y2:= simplify (1+int (x+simplify (1+int (x+1, x=0…x))^2, x=0…x));

Найдем значение при x=0,5:

Задача №2: Методом последовательных приближений найти приближенное решение дифференциального уравнения при, удовлетворяющее начальному условию.

Дано: - дифференциальное уравнение

Начальное условие

Найти: значение

Решение:

Будем находить приближенное решение данного ДУ на отрезке с шагом (выбрали произвольно).

Запишем для данного случая формулу вида (10)

> y1:=simplify (1+int (x*1, x=0…x));

>y2:=simplify (1+int (x*simplify (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x));

Аналогично находим третье приближение:

>y3:=simplify (1+int (x*simplify (1+int (x*simplify (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x)), x=0…x));

Найдем приближенное решение данного ДУ при, для этого в третье приближение вместо x, подставим и получим:

Сравним полученный приближенный результат с точным решением ДУ:

По результатам таблицы, видно, что погрешность вычислений очень мала.

Напомним известные теоремы Пикара и Пеано о существовании и единственности решения данной задачи (задачи Коши).

Теорема ПЕАНО утверждает, что решение задачи Коши существует в некоторой окрестности точки Х о, если функция f(x,Y) непрерывна в окрестности точки (X 0 ,Y 0).

Теорема ПИКАРА гласит, что если не только функция f(x,Y), но и ее частная производная f" у (x,Y) также непрерывна в окрестности точки (Х 0 ,У 0), то решение задачи Коши единственно на некотором отрезке, содержащем точку Х 0 .

Доказательство теоремы Пикара следует из общего принципа сжимающих отображений, оно весьма непросто, но обладает существенным преимуществом -оно конструктивно. Причем последовательность функций Y n (x), которая строится в нем, сходится к решению равномерно на отрезке со скоростью геометрической прогрессии. В методе Пикара последовательность функций Y n (x) строится по рекуррентной формуле:

При n= 0,1,2,...,

а за нулевое приближение берется константа Y 0: Y 0 (х)ºY 0 .

Для того, чтобы стало понятно происхождение этой рекуррентной формулы, заметим, что интегральное уравнение

эквивалентно исходной задаче Коши, поскольку любая функция Y(х), являющаяся его решением, удовлетворяет начальному условию Y(Х о)=Y о и уравнению Y"(х)=f(x,Y(х)) и наоборот.

Вопрос: Почему это действительно так?

Пример 4.1 Применим метод Пикара для решения уравнения Y"=Y с начальным условием Y(0)=1. Такая задача эквивалентна поиску решения интегрального уравнения Y=1+òY(t)dt.

В качестве начального приближения берем функцию Y о =1.

Тогда Y 1 =1+òY о (t)dt= 1+òdt= 1+x.

Y 3 = 1+òY 2 (t)dt= 1+ò(1+t+t 2 /2)dt= 1+x+x 2 /2+x 3 /6.

Можно убедиться, что Y n = 1+х+x 2 /2+ ... +x n /n!.

Упражнение 4.1.Доказать последнее равенство строго, используя принцип математической индукции.

Упражнение 4.2.В примере 4.1 найти точное решение Y(Х) и оценить скорость равномерной сходимости Y n (x) -> Y(Х) на отрезке .

В целом, приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно разбить на 3 типа:

· аналитические , позволяющие получить приближенное решение Y(х) в виде формулы,

· графические , дающие возможность приближенного построения графика решения Y(х),т.е. интегральной кривой,

· численные , в результате применения которых получается таблица приближенных значений функции Y(х),

хотя такое деление и несколько условно.

Кроме метода Пикара, к аналитическим методам относится и

метод разложения неизвестной функции Y(х) в ряд,

на котором мы сейчас остановимся.

Напишем формальное разложение Y(Х) в ряд Тейлора в точке а:

В это равенство входят производные неизвестной функции Y(Х) в точке а, однако именно в этой точке, пользуясь условиями задачи, мы можем последовательно найти любое число производных и получить необходимое приближение решения. В общем виде это выглядит так: Y о (а)=Y(а)= Y о; Y"(а)=f(a,Y(a))= f(a,Y o)

Дифференцируя данное нам уравнение по Х,получим

Y""(Х)=f" х (x,Y(х))+f" у (x,Y(х))*Y"(х), откуда Y""(а)= f" х (а,Yо)+f" у (a,Y о)*f(a,Y о).

Аналогично получается и значения третьей и дальнейших производных в точке а -дифференцируем нужное число раз исходное уравнение и подставляем полученные ранее значения производных в точке а.

Пример 4.2.Выпишем первые члены разложения в ряд функции Y(x), удовлетворяющей уравнению Y"=2хY и начальному условию Y(0)=1.

Y"""(х)=2 Y"(х)+2 Y"(х)+2х*Y""(х)= 4Y"(х)+2хY""(х), откуда Y"""(0)=0.

Y (4) (х)=4Y""(х)+2хY"""(х), откуда Y (4) (0)=6.

Получаем приближенное решение Y(х)»1+х 2 +0.5х 4 .

Упражнение 4.3.Пользуясь формулой Лейбница для нахождения n-ой производной произведения функций, написать разложение искомой в примере 4.2 функции в ряд Тейлора.

Упражнение 4.4.Найти точное решение в примере 4.2 и оценить качество приближения в примере 4.2 на отрезке [-0.5,0.5].

Описанные выше методы не часто применяются на практике, поскольку в методе Пикара на каждом шаге приходится вычислять интеграл, что осложняет вычисления и ухудшает точность, а в методе разложения в ряд крайне сложно формализовать на любом из языков процесс нахождения производных высокого порядка, а при малом количестве членов разложения этот метод дает хорошее приближение лишь вблизи от точки а.

Среди ГРАФИЧЕСКИХ рассмотрим

Это приближенный метод решения, являющийся обобщением метода последовательных приближений (см. главу V, § 2). Рассмотрим задачу Коши для уравнения первого порядка

Интегрируя дифференциальное уравнение, заменим эту задачу эквивалентным ей интегральным уравнением типа Вольтерра

Решая это интегральное уравнение методом последовательных приближений, получим итерационный процесс Пикара

(приближенное решение, в отличие от точного, мы будем обозначать через у). На каждой итерации этого процесса интегрирование выполняется либо точно, либо численными методами, описанными в главе IV.

Докажем сходимость метода, предполагая, что в некоторой ограниченной области правая часть непрерывна и удовлетворяет по переменной и условию Липшица

Поскольку область ограничена, то выполняются соотношения Обозначим погрешность приближенного решения через Вычитая (8) из (9) и используя условие Липшица, получим

Решая это рекуррентное соотношение и учитывая, что найдем последовательно

Отсюда следует оценка погрешности

Видно, что при , т. е. приближенное решение равномерно сходится к точному во всей области .

Пример. Применим метод Пикара к задаче Коши для уравнения (3), решение которого не выражается через элементарные функции

В этом случае квадратуры (9) вычисляются точно, и мы легко получаем

и т. д. Видно, что При эти приближения быстро сходятся и позволяют вычислить решение с высокой точностью,

Из этого примера видно, что метод Пикара выгодно применять, если интегралы (9) удается вычислить через элементарные функции. Если же правая часть уравнения (7) более сложна, так что эти интегралы приходится находить численными методами, то метод Пикара становится не слишком удобным.

Метод Пикара легко обобщается на системы уравнений способом, описанным в п. 2. Однако на практике чем выше порядок системы, тем реже удается точно вычислять интегралы в (9), что ограничивает применение метода в этом случае.

Имеется много других приближенных методов. Например, С. А. Чаплыгин предложил метод, являющийся обобщением алгебраического метода Ньютона на случай дифференциальных уравнений. Другой способ обобщений метода Ньютона предложил Л. В. Канторович в 1948 г. В обоих этих методах, так же как и в методе Пикара, итерации выполняются при помощи квадратур. Однако квадратуры в них имеют гораздо более сложный вид, чем (9), и редко берутся в элементарных функциях. Поэтому эти методы почти не применяют.