Свойство откладывания отрезков и углов. Откладывание отрезков и углов

>>Математика 7 класс. Полные уроки >>Геометрия: Откладывание отрезков и углов. Полные уроки

Откладывание отрезков и углов

На рисунке изображено как с помощью линейки на полупрямой a с начальной точкой A можно отложить отрезок, длиной 3 см.

На этом рисунке изображено, как с помощью транспортира отложить от полупрямой a в верхнюю плоскость угол с градусной мерой в 60°


Сформулируем основные свойства отложения отрезков и углов:

1. на любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины и только один;
2. от любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньше 180°.

Пример решения задачи.

На луче AB отложен отрезок AC, меньший отрезка AB. Какая из трех точек A, B, C лежит между двумя другими?

Решение.
Так как точки B и C лежат на одной полупрямой с начальной точкой A, значит точкой A они не разделяются, то есть точка A не лежит между точками B и C.

Если точка B лежит между точками A и C, то было бы верно равенство: AB+BC=AC. Это невозможно, так как по условию отрезок AC меньше отрезка AB. Следовательно точка C не лежит между точками A и C.

Из трех точек A, B, C только одна лежит между двумя другими. В нашем случае: точка C расположена между точками A и B.

Луч.

Проведем прямую а и отметим на ней точку О (рис. 11).

Эта точка разделяет прямую на две части, каждая из которых называется лучом, исходящим из точки О (на рисунке 11 один из лучей выделен жирной линией). Точка О называется началом каждого из лучей. Обычно луч обозначают либо малой латинской буквой (например, луч h на рисунке 12, а), либо двумя большими латинскими буквами, первая из которых обозначает начало луча, а вторая - какую-нибудь точку на луче (например, луч ОА на рисунке 12,б).

Угол.

Напомним, что угол - это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало - вершиной угла. На рисунке 13 изображен угол с вершиной О и сторонами h и k На сторонах отмечены точки A и В. Этот угол обозначают так: hk, или АОВ, или О.

Угол называется развернутым , если обе его стороны лежат на одной прямой. Можно сказать, что каждая сторона развернутого угла является продолжением другой стороны. На рисунке 14 изображен развернутый угол с вершиной С и сторонами р и q.

Любой угол разделяет плоскость на две части . Если угол неразвернутый, то одна из частей называется внутренней , а другая - внешней областью этого угла (рис. 15, а). На рисунке 15, б изображен неразвернутый угол. Точки А, В, С лежат внутри этого угла (т. е. во внутренней области угла), точки D и Е - на сторонах угла, а точки Р и Q - вне угла (т. е. во внешней области угла). Если угол развернутый, то любую из двух частей, на которые он разделяет плоскость, можно считать внутренней областью угла. Фигуру, состоящую из угла и его внутренней области, также называют углом.

Если луч исходит из вершины неразвернутого угла и проходит внутри угла, то он делит этот угол на два угла. На рисунке (16,а) луч ОС делит угол АОВ на два угла: АОС и СОВ. Если угол АОВ развернутый, то любой луч ОС, не совпадающий с лучами ОА и ОВ, делит этот угол на два угла: АОС и СОВ (рис. 16,б).


Сравнение отрезков и углов.

На рисунке 20, а изображены два отрезка. Чтобы установить, равны они или нет, наложим один отрезок на другой так, чтобы конец одного отрезка совместился с концом другого (рис. 20, б). Если при этом два других конца также совместятся, то отрезки полностью совместятся и, значит, они равны. Если же два других конца не совместятся, то меньшим считается тот отрезок, который составляет часть другого. На рисунке 20, в отрезок АС составляет часть отрезка АВ, поэтому отрезок АС меньше отрезка АВ (пишут так: АС<АВ).

Точка отрезка, делящая его пополам, т. е. на два равных отрезка, называется серединой отрезка. На рисунке 21 точка С середина отрезка АВ.

На рисунке 22, а изображенынеразвернутые углы 1 и 2 . Чтобы установить, равны они или нет, наложим один угол на другой так, чтобы сторона одного угла совместилась со стороной другого, а две другие оказались по одну сторону от совместившихся сторон (рис. 22,б). Если две другие стороны также совместятся, то углы полностью совместятся и, значит, они равны. Если же эти стороны не совместятся, то меньшим считается тот угол, который составляет часть другого. На рисунке (22,б) угол 1 составляет часть угла 2, поэтому 1<2.

Неразвернутый угол составляет часть развернутого (рис. 23), поэтому развернутый угол больше неразвернутого угла. Любые два развернутых угла, очевидно, равны.

Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла. На рисунке 24 луч l - биссектриса угла hk.

Вопросы:

1. Сколько градусов развернутый угол?
2. Что такое биссектрис?
3. Для чего служит транспортир?

Список использованных источников:

1. П. И. Алтынов, Геометрия 7-9 классы. Москва. Издательский дом «Дрофа», 2005.
2. Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия 7-9 классы. Составитель: С.А. Бурмистрова. Москва. «Просвещение», 2009 год.
3. Газета «Математика» № 19, 2000 год.
4. Атанасян, Геометрия 7-9 класс.
5. Павлов А. Н. Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях.
6. Отредактировано и выслано Потунаком С.А.

Над уроком работали:

Потурнак С.А.

На рисунке 18 показано, как с помощью линейки на полупрямой а с начальной точкой А можно отложить отрезок данной длины (3 см).

Посмотрите на рисунок 19. а, продолженная за начальную точку А, разбивает плоскость на две полуплоскости. На рисунке показано, как с помощью транспортира отложить от полупрямой а в верхнюю полуплоскость угол с данной градусной мерой (60°).

Основными свойствами откладывания отрезков и углов мы будем называть следующие свойства:

VI. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

VII. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°,и только один.

Задача (30). На луче АВ отложен отрезок АС, меньший отрезка АВ. Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими? Объясните ответ.

Решение (рис. 20). Так как точки В и С лежат на одной полупрямой с начальной точкой А, то они не разделяются точкой А, т. е. точка А не лежит между точками В и С.

Может ли точка В лежать между точками A и С? Если бы она лежала между точками А и С, то было бы АВ + ВС = АС.

Но это невозможно, так как по условию Отрезок АС меньше отрезка АВ. Значит, точка В не лежит между точками А и С.
Из трех точек А, В, С одна лежит между двумя другими. Поэтому точка С лежит между точками А и В.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Геометрия

Основные свойства простейших геометрических фигур

Определение. Аксиомы

Геометрия - это наука о свойствах геометрических фигур.
Обратите внимание: геометрическая фигура - это не только треугольник, круг, пирамида и т.д., но и любое множество точек.
Планиметрия - это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.
Точка и прямая являются основными понятиями планиметрии. Это означает, что этим понятием нельзя дать точное определение. Их можно только представить, опираясь на опыт и перечислив их свойства.
Утверждения, справедливость которых принимается без доказательства, называются аксиомами . Они содержат формулировки основных свойств простейших фигур.
Утверждения, которые доказывают, называются теоремами .
Определение - это объяснение какого-либо понятия, которое опирается или основные понятия, или понятия, которые определены ранее.
Обозначения: точки обозначаются большими латинскими буквами; прямые - строчными латинскими буквами или двумя большими латинскими буквами (если на прямой обозначены две точки).
На рисунке точки A , B , C , N , М и прямые a и b . Прямую а можно обозначить как прямую MN (или NM ).

Запись означает, что точка M лежит на прямой а . Запись означает, что точка С не лежит на прямой а .
Надо понимать, что прямые a и b на рисунке пересекаются, хотя мы не видим, в точке.

Основные свойства (аксиомы) принадлежности точек и прямых на плоскости

Аксиома И.
1. Какова бы не была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну. (Надо понимать, что здесь содержатся два утверждения: во-первых - существование такой прямой, а во-вторых - ее единственность.)
Аксиома II. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Эти точки называются концами отрезка . На рисунке изображен отрезок АВ (отрезок обозначают, записывая его конце).

Основные свойства (аксиомы) измерение отрезков

Аксиома III.
1. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля.
2. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

Основное свойство размещения точек относительно прямой на плоскости

Аксиома IV. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
Это разбиение имеет такое свойство: если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной півплощині, то отрезок не пересекает прямую; если концы отрезка принадлежат разным півплощинам, то отрезок пересекает прямую.
Півпрямою , или лучом ,называют часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной на ней точки. Эта точка называется начальной точкой луча . Различные півпрямі одной прямой с общей начальной точкой называются доповняльними .
На рисунке представлены лучи AB (он же AC ), DA (или DB , DC ), BC , CB (или CA , CD ), BA (или BD ), AD .

Лучи AB и AD, BC и BD - доповняльні. Лучи BD и AC не является доповняльними, потому что у них разные отправные точки.
Угол - это фигура, которая состоит из точки - вершины угла - и двух различных півпрямих, выходящих из этой точки,- сторон угла .
Угол, представленный на рисунке, можно обозначить так: , , .

Если стороны угла являются доповняльними півпрямими, угол называют развернутым :

Говорят, что луч проходит между сторонами угла , если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на его сторонах. Для развернутого угла считаем, что любой луч, который исходит из его вершины и отличный от его сторон, проходит между сторонами угла.

Основные свойства измерения углов

Аксиома V.
1. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен .
2. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Основные свойства откладывания отрезков и углов

Аксиома VI. На любой півпрямій от ее начальной точки можно отложить отрезок данной длины, и только один.
Аксиома VII. От любой півпрямої в данную півплощину можно отложить угол с данной градусной мере, меньше , и только один.
Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника , а отрезки - его сторонами .
Треугольник на рисунке можно обозначить так: или , и т. д.

Основные элементы предоставления выше треугольника: стороны AB , AC , BC (или a , b , c ); углы (или ), , . и - прилегающие к стороне AC . - противоположный стороне AC .
Треугольники называются равными , если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон.
Запись означает (см. рисунок), что:
; ;
; ;
; .

Основное свойство существования равных треугольников

Аксиома VIII. Каков бы ни был треугольник, существует треугольник, равный ему в заданном размещении относительно данной півпрямої.
Прямые называются параллельными , если они не пересекаются.
Параллельные прямые, изображенные на рисунке, можно обозначить так: или .

Аксиома параллельных прямых

Аксиома IX. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более чем одну прямую, параллельную данной.
Обратите внимание: аксиома утверждает единственность такой прямой, но не утверждает его существование.

Взаимное расположение прямых на плоскости

Две прямые на плоскости могут:
совпадать;
быть параллельными (т.е. не пересекаться);
иметь одну общую точку.
(Действительно, если бы две прямые могли иметь хотя бы две общие точки, то через эти две точки проходили бы две различные прямые, что противоречит аксиоме И, п. 2).