Нелинейная функция. Метод линеаризации

Зависимости

Обработка результатов косвенных измерений при нелинейной

Представление результатов измерений

Ввиду того, что каждый аргумент может иметь соответствующие доверительные границы неисключенной систематической и случайной погрешностей, то задача определения погрешности косвенного измерения в этих случаях делится на три этапа:

а) суммирование частных неисключенных систематических погрешностей аргументов;

б) суммирование частных случайных погрешностей аргументов;

в) сложение систематической и случайной составляющих погрешности.

Доверительная граница неисключенной систематической погрешности косвенного измерения при условии одинаковой доверительной вероятности частных погрешностей и их равномерного распределения внутри заданных границ определяется по формуле (без учета знака):

где θ y – доверительная граница неисключенной систематическо погрешности среднего значения X j -го аргумента. При отсутствии корреляционной связи между аргументами оценка СКО случайной погрешности косвенного измерения вычисляется по

где S x j – оценка СКО случайной погрешности результата измерения X j -го аргумента.

При нормальном распределении погрешностей косвенного измерения доверительная граница случайной составляющей погрешности вычисляется по формуле:

где t p – квантиль Стьюдента при доверительной вероятности P с эффективным числом степеней свободы k эф , определяемом при малых объемах выборки по формуле:

При больших объемах число степеней свободы находится по формуле

Доверительная граница суммарной погрешности результата косвенного

измерения определяется по правилам, изложенным выше.

Существуют два метода определения точечной оценки результата косвенного измерения и её погрешности: линеаризации и приведения.

Для косвенных измерений при нелинейных зависимостях и некоррелированных погрешностях измерений аргументов используется метод линеаризации. Метод линеаризации основан на том, что погрешность измерения значительно меньше измеряемой величины, и поэтому вблизи средних значений Xi аргументов нелинейная функциональная зависимость линеаризуется и раскладывается в ряд Тейлора (члены высокого порядка не учитываются). Линеаризуя функцию нескольких случайных аргументов (какими и являются результаты измерений и их погрешности), можно получить, как правило, достаточно простое выражение для вычисления оценок среднего

значения и среднего квадратического отклонения функции. Разложение нелинейной функции в ряд Тейлора имеет вид:

Метод линеаризации допустим, если можно пренебречь остаточным членом R . Остаточным членом

пренебрегают, если

где X S – среднее квадратическое отклонение случайных погрешностей результата измерения x i -го аргумента. Первое слагаемое правой части уравнения есть точечная оценка истинного значения косвенной величины, которая получается подстановкой в

функциональную зависимость средних арифметических X i , значений аргументов:

Второе слагаемое

есть сумма составляющих погрешности косвенного измерения, называемых частными погрешностями, а частные производные

Коэффициентами влияния.

Отклонения ΔXi должны быть взяты из полученных значений погрешностей и такими, чтобы они максимизировали выражение для остаточного члена R . Если частные погрешности косвенного измерения не зависят друг от друга, т. е. являются некоррелированными, и известны доверительные границы погрешности аргументов при одинаковой вероятности, то предельная погрешность (без учета знака) косвенного измерения вычисляется по формуле:

значения частных производных функциональной зависимости определяются при средних значениях аргументов

Этот метод, называемый максимум-минимум, дает значительно завышенное значение погрешности косвенного измерения. Относительно правильная оценка погрешности косвенного измерения, получается, по методу квадратического суммирования

В ряде случаев расчет погрешности косвенного измерения значительно упрощается при переходе к относительным погрешностям. Для этого используется прием логарифмирования и последующего дифференцирования функциональной зависимости. Когда предельная погрешность косвенного измерения, полученная по методу максимума-минимума.

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор используется для нахождения минимума функции двух переменных методом непосредственной линеаризации.

Правила ввода функций:

1. Все переменные выражаются через x 1 ,x 2
2. Все математические операции выражаются через общепринятые символы (+,-,*,/,^). Например, x 1 2 +x 1 x 2 , записываем как x1^2+x1*x2 .

Все рассматриваемые ниже методы основываются на разложении нелинейной функции общего вида f(x) в ряд Тейлора до членов первого порядка в окрестности некоторой точки x 0:

где – отбрасываемый член второго порядка малости.
Таким образом, функция f(x) аппроксимируется в точке x 0 линейной функцией:
,
где x 0 – точка линеаризации.
Замечание . Линеаризацию следует использовать с большой осторожностью, поскольку иногда она дает весьма грубое приближение.

Общая задача нелинейного программирования

Рассмотрим общую задачу нелинейного программирования:

Пусть x t – некоторая заданная оценка решения. Использование непосредственной линеаризации приводит к следующей задаче:

Эта задача представляет собой ЗЛП. Решая ее, находим новое приближение x t +1 , которое может и не принадлежать допустимой области решений S.
Если , то оптимальное значение линеаризованной целевой функции, удовлетворяющее неравенству:

может не быть точной оценкой истинного значения оптимума.
Для сходимости к экстремуму достаточно, чтобы для последовательности точек { x t }, полученных в результате решения последовательности подзадач ЛП, выполнялось следующее условие:
значение целевой функции и невязки по ограничениям в точке x t +1 должно быть меньше их значений в точке x t .

Пример №1 .

Построим допустимую область S (см. рис.).

Допустимая область S состоит из точек кривой h(x)=0, лежащей между точкой (2;0), определяемой ограничением x 2 ≥0, и точкой (1;1), определяемой ограничением g(x) ≥0.
В результате линеаризации задачи в точке x 0 =(2;1) получаем следующую ЗЛП:

Здесь представляет собой отрезок прямой , ограниченный точками (2.5; 0.25) и (11/9; 8/9). Линии уровня линеаризованной целевой функции представляют собой прямые с наклоном -2, тогда как линии уровня исходной целевой функции – окружности с центром в точке (0;0). Ясно, что решением линеаризованной задачи является точка x 1 =(11/9; 8/9). В этой точке имеем:

так что ограничение–равенство нарушается. Произведя новую линеаризацию в точке x 1 , получаем новую задачу:

Новое решение лежит на пересечении прямых и и имеет координаты x 2 =(1.0187; 0.9965). Ограничение– равенство () все еще нарушается, но уже в меньшей степени. Если произвести еще две итерации, то получим очень хорошее приближение к решению x * =(1;1), f(x *)=2

Таблицa - Значения целевой функции для некоторых итераций:

Итерация	f	g	h
0	5	3	–1
1	2,284	0,605	–0,0123
3	2,00015	3,44×10 -4	–1,18×10 -5
Оптимум	2	0	0

Из таблицы видно, что значения f,g и h монотонно улучшаются. Однако такая монотонность характерна для задач, функции которых являются "умеренно" нелинейными. В случае функций с ярко выраженной нелинейностью монотонность улучшения нарушается и алгоритм перестает сходиться.
Существует три способа усовершенствования методов непосредственной линеаризации:
1. Использование линейного приближения для отыскания направления спуска.
2. Глобальная аппроксимация нелинейной функции задачи при помощи кусочно–линейчатой функции.
3. Применение последовательных линеаризаций на каждой итерации для уточнения допустимой области S.

В том случае, когда в уравнении (2.4) функция представляет собой нелинейную функцию своих аргументов, динамика работы звена описывается нелинейным дифференциальным уравнением, а само звено называется нелинейным динамическим звеном. Если же описание динамики работы звена приводит к линейному дифференциальному уравнению [функция в уравнении (2.4) линейно зависит от своих аргументов], то звено называется линейным динамическим звеном. Заметим, что линейность статической характеристики звена, вообще говоря, не дает основания отнести его к разряду линейных, ибо встречаются случаи, когда нелинейные свойства звена проявляются только в неустановившихся режимах.

Исследование нелинейных дифференциальных уравнений существенно труднее и сложнее, чем линейных. Поэтому в тех случаях, когда это возможно, всегда стремятся линеаризовать нелинейное дифференциальное уравнение, т. е. заменить его приближенно некоторым линейным дифференциальным уравнением, решение которого достаточно близко к решению исходного нелинейного уравнения.

Простейший способ линеаризации основан на разложении нелинейной функции в ряд Тэйлора с последующим отбрасыванием нелинейных членов разложения. Рассмотрим этот способ применительно к уравнению (2.5), имеющему первый порядок. Все изложенное будет справедливо и для уравнений более высокого порядка.

Линеаризация нелинейного уравнения всегда производится относительно некоторого, заранее выбранного, режима работы динамического звена. Чаще всего в качестве режима, принимаемого при линеаризации за исходный, выбирается установившийся режим, характеризуемый постоянством всех обобщенных координат. Применительно к уравнению (2.5) уравнения исходного режима математически могут быть записаны так:

Здесь - постоянные величины, связанные между собой уравнением

Выбрав исходный режим, для линеаризации уравнения (2.5) поступают следующим образом.

1. Представляют все входящие в рассмотрение координаты в виде

В уравнениях отклонения соответствующих координат от их значений (2.8), принятых за исходные при линеаризации. Соотношения (2.10) - (2.12) позволяют вместо полных значений координат оперировать их отклонениями (или приращениями)

2. Левую часть уравнения (2.5) разлагают в ряд Тэйлора относительно точки с координатами соответствующей исходному режиму. В результате уравнение (2.5) переписывается в виде

В соответствии с правилом разложения функции нескольких переменных в ряд Тэйлора частные производные, входящие в левую часть уравнения (2.16), вычисляются в точке, соответствующей режиму, принятому за исходный при линеаризации, так что, например, означает частную производную от функции по переменной в которую после вычисления подставлены значения Так как в исходном режиме все координаты постоянны, то все фигурирующие в уравнении (2.16) частные производные представляют собой просто некоторые числа, зависящие от выбора исходного режима (т. е. от чисел Символом в уравнении (2.16) обозначен остаточный член разложения, содержащий вторую и более высокие степени отклонений и их произведения, умноженные на соответствующие частные производные. Функция обладает тем свойством, что

3. Отклонения координат их исходных значений считают малыми («гипотеза малых отклонений») и на этом основании в левой части уравнения (2.16) пренебрегают членами, содержащими вторую и более высокие степени отклонений и их произведения

как членами более высокого порядка малости по сравнению с членами, содержащими отклонения в первой степени, т. е. полагают

Учитывая, кроме того, соотношение (2.9), окончательно получают уравнение

Это уравнение есть линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Оно представляет собой результат линеаризации нелинейного уравнения (2.5) относительно исходного режима (2.8).

Из изложенного следует, что необходимым условием линеаризации является разложимость функции фигурирующей в левой части нелинейного дифференциального уравнения, в ряд Тэйлора в окрестности точки с координатами, соответствующими режиму, выбранному при линеаризации за исходный. Если такое разложение невозможно (например, функция недифференцируема по какой-либо из координат), то рассмотренный метод линеаризации не имеет силы, и исходное нелинейное уравнение даже приближенно не может быть заменено линейным. В этом случае говорят, что динамическое звено, описываемое таким уравнением, является существенно нелинейным, т. е. нелинеаризуемым. Деление динамических звеньев на линеаризуемые и нелинеаризуемые связано со способом линеаризации, основанным на разложении нелинейной функции в ряд Тэйлора. В главе 8 будут рассмотрены методы, позволяющие осуществить линеаризацию и существенно нелинейных уравнений (методы гармонической линеаризации).

Основным допущением, которое позволяет перейти от нелинейного уравнения (2.5) к линейному уравнению (2.19), является допущение о малости отклонений всех входящих в рассмотрение координат от их значений, принятых при линеаризации за исходные. Поэтому линеаризованное уравнение (2.19) дает возможность исследовать лишь малые отклонения величин, характеризующих работу динамического звена, от исходного режима. Однако и такое рассмотрение в ряде случаев очень полезно.

Запись линейного дифференциального уравнения в форме (2.19) является довольно громоздкой и неудобной для практического применения. В автоматике при записи линейных уравнений принято выходную величину звена (или ее отклонение) и ее производные записывать в левой части уравнения, а все остальные члены переносить в правую часть. В такой форме записи уравнение (2.19) примет следующий вид:

С целью сокращения выкладок в теории автоматического управления широко используется символический метод записи линейных дифференциальных уравнений, в основе которого лежит условное (символическое) обозначение производных и интеграла:

Так называемый символ дифференцирования. Его не следует путать с комплексной переменной, фигурирующей в преобразовании Лапласа (см. § 4.2), которую иногда также обозначают буквой В отличие от преобразования Лапласа (и родственных ему операционных методов) символический метод, сокращая и унифицируя запись дифференциальных уравнений и их систем, не содержит никаких приемов, облегчающих их решение.

При использовании символических обозначений уравнение (2.20) записывается следующим образом:

Уравнение (2.25) часто переписывают в виде

чисто формально отрывая символ дифференцирования от обозначения дифференцируемой функции.

Если обозначить

то уравнение (2.26) запишется еще более компактно:

Уравнения (2.26) и (2.30) следует рассматривать просто как удобную сокращенную запись уравнения (2.20). Никакого другого смысла они не имеют. Полиномы (2.27)-(2.29), входящие в уравнение (2.30), называются символическими полиномами. Пользуясь преобразованием Лапласа, нетрудно доказать, что символические полиномы можно складывать и перемножать по правилам действий с обычными полиномами. Это обстоятельство в ряде случаев позволяет значительно упростить и облегчить преобразования систем дифференциальных уравнений (например, «свертывание» системы дифференциальных уравнений в одно уравнение - см. гл. 3).

В дальнейшем дифференциальные уравнения линейных звеньев систем управления будут записываться преимущественно в форме

(2.30). При этом часто оказывается удобным разделить все члены дифференциального уравнения на коэффициент при выходной координате звена (или ее отклонении). Так, поделив все члены уравнения (2.26) на коэффициент си получим уравнение

Поскольку соединять знаками сложения, вычитания и равенства можно лишь величины одинаковой размерности, все члены уравнения (2.31) имеют размерность величины Учитывая, что Мсек, нетрудно получить соотношения для размерностей коэффициентов уравнения (2.31):

Коэффициент называется постоянной времени звена, описываемого уравнением (2.31), а величины и - коэффициентами передачи звена по входной величине и по возмущению.

Уравнение (2.31) называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка в стандартной форме записи. Аналогично к стандартному виду преобразуются и уравнения более высоких порядков.

Рассмотрим снова какой-либо установившийся режим работы звена, характеризующийся постоянством координат Уравнения показывают, что отклонения координат от исходных значений в таком режиме также будут постоянны. Отсюда следует, что и линеаризованное уравнение (2.31) для установившегося режима упрощается:

Положим, кроме того что Тогда

Это уравнение является линейным. Полные значения переменных в рассматриваемом режиме связаны нелинейной зависимостью:

Сопоставление уравнений (2.36) и (2.35) позволяет дать простую геометрическую интерпретацию процессу линеаризации. На самом деле, уравнение (2.36) в плоскости координат определяет статическую характеристику звена, соответствующую значению Эта характеристика может, например, иметь вид кривой, изображенной на рис. 2.3. Выбор режима (2.8), принимаемого за исходный при

линеаризации, на этой характеристике соответствует выбору точки с координатами Переход от полных значений координат к их приращениям в плоскости геометрически означает перенос начала координат из точки О в точку В координатах уравнение (2.35) представляет собой уравнение прямой, проходящей через начало координат и имеющей угловой коэффициент

Соотношение (2.37) определяет производную функции заданной в неявной форме уравнением (2.36). Поэтому окончательно

Рис. 2.3. К пояснению геометрического смысла линеаризации

Таким образом, геометрический смысл линеаризации применительно к установившимся режимам состоит в том, что реальная статическая характеристика звена заменяется касательной к ней, проведенной в точке соответствующей режиму, выбранному за исходный при линеаризации. В том случае, когда касательную к статической характеристике в точке провести нельзя (характеристика в этой точке имеет излом, разрыв, неоднозначность и т. д.), линеаризация относительно выбранного исходного режима невозможна. Поэтому часто уже по виду статической характеристики звена удается судить о возможности или невозможности линеаризации описывающего его дифференциального уравнения.

Рис. 2.3 наглядно показывает, что чем меньше отклонение величины от исходного значения тем ближе расположена касательная к статической характеристике звена и тем точнее, следовательно, линеаризация.

Коэффициент в уравнении (2.35) может быть определен графоаналитически при помощи соотношения

где - коэффициент, учитывающий масштабы, принятые по осям координат; - угол, составленный касательной к статической характеристике звена в точке с осью абсцисс.

Наличие второго члена в правой части уравнения (2.34) ничего принципиально нового не вносит и свидетельствует лишь о том, что в установившемся режиме отклонение выходной величины звена от исходного значения в общем случае определяется отклонением не только входной величины но и дополнительного воздействия (например, какого-либо возмущения).

Аналогично может быть проиллюстрирован процесс перехода от нелинейного дифференциального уравнения (2.5) к линейному уравнению (2.19). Суть перехода заключается здесь в приближенной замене многомерной поверхности, определяемой уравнением (2.5), касательной к ней многомерной плоскостью, задаваемой уравнением (2.19). В силу громоздкости и малой наглядности геометрических построений в многомерном пространстве такой подход не приносит практической пользы и подробно здесь не рассматривается.

Из сопоставления уравнений (2.5) и (2.19) видно, что результат линеаризации (2.19) может быть написан сразу, так как левая часть линеаризованного уравнения представляет собой сумму произведений частных производных функции по каждому из ее аргументов на отклонения этих аргументов от исходных значений.

Этот результат, полученный на примере дифференциального уравнения первого порядка, сохраняет силу для уравнений произвольного порядка. В частности, для уравнения (2.6) линеаризованное уравнение запишется в виде

Уравнение (2.40) можно записать в форме (2.30), если обозначить

Здесь символические полиномы имеют первую степень относительно Ранее отмечалось, что признаком стандартной формы записи дифференциальных уравнений является равенство единице первых отличных от нуля коэффициентов при младших степенях во всех участвующие в рассмотрении символических полиномах. Пусть, например, Тогда результат линеаризации уравнения (2.6) может быть записан следующим образом:

Поделив обе части последнего уравнения на коэффициент будем иметь

Предположим дополнительно, что Тогда уравнение (2.45) можно представить в виде

причем нетрудно показать, что

Уравнение (2.45) представляет собой один из примеров стандартной формы записи линейного дифференциального уравнения второго порядка. Как и для уравнения первого порядка, коэффициенты , имеющие размерность времени, называются постоянными времени звена, а величины и - коэффициентами передачи звена.

При пользовании стандартной формой записи удобно считать все постоянные времени и коэффициенты передачи звена неотрицательными числами. Поэтому, например, в том случае, когда при вычислениях по формулам (2.44) окажется, что уравнение (2.40) следует записывать так:

где коэффициенты

являются положительными.

Для уравнения (2.4) произвольного порядка результат линеаризации имеет следующий вид:

Обозначив

уравнение (2.47) можно записать так:

Уравнение (2.51) после введения символических полиномов

приводится к уравнению (2.30). Рассмотренные ранее линейные уравнения 1 и 2-го порядков являются частным случаем уравнения (2.51) при Это позволяет считать уравнение (2.51) общим уравнением обыкновенного линейного звена при наличии одного возмущающего воздействия. В правой части уравнения (2.51) фигурируют внешние воздействия умноженные на соответствующие символические многочлены. Поэтому по аналогии в том случае, когда на звено действует несколько возмущений общее уравнение звена можно записать следующим образом.

Применительно к функции Z = cp (X , Х 2 , ..., XJ, нелинейной относительно системы своих аргументов, решение задачи в сформулированной выше постановке может быть получено, как правило, лишь приближенно на основе метода линеаризации. Сущность метода линеаризации заключается в том, что нелинейную функцию заменяют некоторой линейной и затем по уже известным правилам находят числовые характеристики этой линейной функции, считая их приближенно равными числовым характеристикам нелинейной функции.

Сущность этого метода рассмотрим на примере функции одного случайного аргумента.

Если случайная величина Z является заданной функцией

случайного аргумента X, то ее возможные значения z связаны с возможными значениями аргумента х функцией того же вида, т. е.

(например, если Z = sin X, то z = sin X).

Разложим функцию (3.20) в ряд Тейлора в окрестности точки х = m , ограничиваясь только первыми двумя членами разложения, и будем считать, что

Значение производной функции (3.20) по аргументу х при х = т х.

Такое допущение равносильно замене заданной функции (3.19) линейной функцией

На основе теорем о математических ожиданиях и дисперсиях получим расчетные формулы для определения числовых характеристик m z ий в виде

Заметим, что в рассматриваемом случае стандартное отклонение а г следует вычислять по формуле

(Модуль производной здесь берется потому, что она

может быть и отрицательной.)

Применение метода линеаризации для нахождения числовых характеристик нелинейной функции

произвольного числа случайных аргументов приводит к расчетным формулам для определения ее математического ожидания, имеющим вид

х 2 , ..., х п) по аргументам х. и х. соответственно, вычисленные с учетом знаков в точке ш х, т^,т Хп, т. е. путем замены всех входящих в них аргументов x v х 2 , ..., х п их математическими ожиданиями.

Наряду с формулой (3.26) для определения дисперсии D ? можно использовать расчетную формулу вида

где г х х - коэффициент корреляции случайных аргументов х.

Применительно к нелинейной функции независимых (или хотя бы некоррелированных) случайных аргументов формулы (3.26) и (3.27) имеют вид

Формулы, основанные на линеаризации нелинейных функций случайных аргументов, позволяют определять их числовые характеристики лишь приближенно. Точность вычисления тем меньше, чем больше заданные функции отличаются от линейных и чем больше дисперсии аргументов. Оценить возможную ошибку в каждом конкретном случае не всегда удается.

Для уточнения результатов, полученных по данному методу, может быть использован прием, основанный на сохранении в разложении нелинейной функции не только линейных, но и некоторых последующих членов разложения (как правило, квадратичных).

Кроме того, числовые характеристики нелинейной функции случайных аргументов можно определять на основе предварительного отыскания закона ее распределения при заданном распределении системы аргументов. Однако нужно иметь в виду, что аналитическое решение такой задачи часто оказывается слишком сложным. Поэтому для нахождения числовых характеристик нелинейных функций случайных аргументов широко используется метод статистического моделирования.

Основой метода является имитация серии испытаний, в каждом из которых путем моделирования получается определенная совокупность х и, x 2i , ..., x ni значений случайных аргументов x v х 2 ,..., х п из множества, отвечающего их совместному распределению. Полученные значения с помощью заданного соотношения (3.24) преобразуются в соответствующие значения z. исследуемой функции Z. По результатам z v z 2 , ..., z., ..., z k всех к таких испытаний искомые числовые характеристики вычисляются методами математической статистики.

Пример 3.2. Определить на основе метода линеаризации математическое ожидание и стандартное отклонение случайной величины

1. По формуле (3.20) получаем

2. Используя таблицу производных элементарных функций, находим

и вычисляем значение этой производной в точке :

3. По формуле (3.23) получаем

Пример 3.3. Определить на основе метода линеаризации математическое ожидание и стандартное отклонение случайной величины

1. По формуле (3.25) получаем

2. Запишем формулу (3.27) для функции двух случайных аргументов

3. Находим частные производные от функции Z по аргументам Х 1 иХ 2:

и вычисляем их значения в точке (m Xi ,т х2):

4. Подставив полученные данные в формулу для расчета дисперсии Z, получим D z = 1. Следовательно, и ст г = 1.

Идея метода гармонической линеаризации принадлежит Н.М. Крылову и Н.Н. Боголюбову и базируется на замене нелинейного элемента системы линейным звеном, параметры которого определяются при гармоническом входном воздействии из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена. Данный метод может быть использован в том случае, когда линейная часть системы является низкочастотным фильтром, т.е. отфильтровывает все возникающие на выходе нелинейного элемента гармонические составляющие, кроме первой гармоники.

Коэффициенты гармонической линеаризации и эквивалентные комплексные коэффициенты передачи нелинейных элементов . В нелинейной системе (рис. 2.1) параметры линейной части и нелинейного элемента выбирают таким образом, чтобы существовали симметричные периодические колебания с частотой w.

В основе метода гармонической линеаризации нелинейностей (рис. 2.10), описываемых уравнением

y н = F(x), (2.17)

лежит предположение, что на вход нелинейного элемента подается гармоническое воздействие с частотой w и амплитудой a , т.е.

x = a sin y, где y = wt, (2.18)

а из всего спектра выходного сигнала выделяется только первая гармоника

y н 1 = a н 1 sin(y + y н 1), (2.19)

где a н 1 - амплитуда а y н 1 - фазовый сдвиг;

при этом высшие гармоники отбрасываются и устанавливается связь между первой гармоникой выходного сигнала и входным гармоническим воздействием нелинейного элемента.

Рис. 2.10. Характеристики нелинейного элемента

В случае нечувствительности нелинейной системы к высшим гармоникам нелинейный элемент может быть в первом приближении заменен некоторым элементом с эквивалентным коэффициентом передачи, который определяет первую гармонику периодических колебаний на выходе в зависимости от частоты и амплитуды синусоидальных колебаний на входе.

Для нелинейных элементов с характеристикой (2.17) в результате разложения периодической функции F(x) в ряд Фурье при синусоидальных колебаниях на входе (2.18) получим выражение для первой гармоники сигнала на выходе

y н 1 = b 1F siny + a 1F cosy, (2.20)

где b 1F , a 1F - коэффициенты разложения в ряд Фурье, определяющие амплитуды соответственно синфазной и квадратурной составляющих первой гармоники, которые определяются по формулам:

px = a w cos y, где p = d/dt,

то связь между первой гармоникой периодических колебаний на выходе нелинейного элемента и синусоидальными колебаниями на его входе можно записать в виде

y н 1 = x, (2.21)

где q = b 1F /a , q¢ = a 1F /a .

Последнее уравнение называется уравнением гармонической линеаризации , а коэффициенты q и q¢ - коэффициентами гармонической линеаризации .

Таким образом, нелинейный элемент при воздействии гармонического сигнала с точностью до высших гармоник описывается уравнением (2.21), которое является линейным. Это уравнение нелинейного элемента отличается от уравнения линейного звена тем, что его коэффициенты q и q¢ изменяются при изменении амплитуды a и частоты w колебаний на входе. Именно в этом заключается принципиальное отличие гармонической линеаризации от обычной, коэффициенты которой не зависят от входного сигнала, а определяются только видом характеристики нелинейного элемента.

Для различных видов нелинейных характеристик коэффициенты гармонической линеаризации сведены в таблицу . В общем случае коэффициенты гармонической линеаризации q(a , w) и q¢(a , w) зависят от амплитуды a и частоты w колебаний на входе нелинейного элемента. Однако, для статических нелинейностей эти коэффициенты q(a ) и q¢(a ) являются функцией только амплитуды a входного гармонического сигнала, а для статических однозначных нелинейностей коэффициент q¢(a ) = 0.

Подвергнув уравнение (2.21) преобразованию по Лапласу при нулевых начальных условиях с последующей заменой оператора s на jw (s = jw), получим эквивалентный комплексный коэффициент передачи нелинейного элемента

W Э (jw, a ) = q + jq¢ = A Э (w, a ) e j y э (w , a ) , (2.22)

где модуль и аргумент эквивалентного комплексного коэффициента передачи связаны с коэффициентами гармонической линеаризации выражениями

A Э (w, a ) = mod W Э (jw, a ) =

y Э (w, a ) = arg W Э (jw, A) = arctg.

Эквивалентный комплексный коэффициент передачи нелинейного элемента позволяет определить амплитуду и фазовый сдвиг первой гармоники (2.19) на выходе нелинейного элемента при гармоническом воздействии (2.18) на его входе, т.е.

a н 1 = a ´A Э (w, a ); y н 1 = y Э (w, a ).

Исследование симметричных периодических режимов в нелинейных системах. При исследовании нелинейных систем на основе метода гармонической линеаризации в первую очередь решают вопрос о существовании и устойчивости периодических режимов. Если периодический режим устойчив, то в системе существуют автоколебания с частотой w 0 и амплитудой a 0 .

Рассмотрим нелинейную систему (рис. 2.5), включающую в себя линейную часть с передаточной функцией

и нелинейный элемент с эквивалентным комплексным коэффициентом передачи

W Э (jw, a ) = q(w, a ) + jq¢(w, a ) = A Э (w, a ) e j y э (w , a ) . (2.24)

Принимая во внимание выражение (2.21), можно записать уравнение нелинейной системы

{A(p) + B(p)´}x = 0. (2.25)

Если в замкнутой нелинейной системе возникают автоколебания

x = a 0 sin w 0 t

с постоянной амплитудой и частотой, то коэффициенты гармонической линеаризации оказываются постоянными, а вся система стационарной. Для оценки возможности возникновения автоколебаний в нелинейной системе методом гармонической линеаризации необходимо найти условия границы устойчивости, как это делалась при анализе устойчивости линейных систем. Периодическое решение существует, если при a = a 0 и w = w 0 характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы

A(p) + B(p)´ = 0 (2.26)

имеет пару мнимых корней l i = jw 0 и l i +1 = -jw 0 . Устойчивость решения необходимо оценить дополнительно.

В зависимости от методов решения характеристического уравнения различают методы исследования нелинейных систем.

Аналитический метод . Для оценки возможности возникновения в нелинейной системе автоколебаний в гармонически линеаризованный характеристический полином системы вместо p подставляют jw

D(jw, a ) = A(jw) + B(jw)´. (2.27)

В результате получают уравнение D(jw, a ) = 0, коэффициенты которого зависят от амплитуды и частоты предполагаемого автоколебательного режима. Выделив вещественную и мнимую части

Re D(jw, a ) = X(w, a );

Im D(jw, a ) = Y(w, a ),

получим уравнение

X(w, a ) + jY(w, a ) = 0. (2.28)

Если при действительных значениях a 0 и w 0 выражение (2.28) удовлетворяется, то в системе возможен автоколебательный режим, параметры которого рассчитываются по следующей системе уравнений:

Из выражений (2.29) можно найти зависимость амплитуды и частоты автоколебаний от параметров системы, например, от коэффициента передачи k линейной части системы. Для этого необходимо в уравнениях (2.29) коэффициент передачи k считать переменной величиной, т.е. эти уравнения записать в виде:

По графикам a 0 = f(k), w 0 = f(k) можно выбрать коэффициент передачи k, при котором амплитуда и частота возможных автоколебаний имеет допустимые значения или вообще отсутствует.

Частотный метод . В соответствии с критерием устойчивости Найквиста незатухающие колебания в линейной системе возникают в том случае, когда амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы проходит через точку с координатами [-1, j0]. Данное условие является также условием существования автоколебаний в гармонически линеаризованный нелинейной системе, т.е.

W н (jw, a ) = -1. (2.31)

Так как линейная и нелинейная части системы соединены последовательно, то частотная характеристика разомкнутой нелинейной системы имеет вид

W н (jw, a ) = W лч (jw)´W Э (jw, a ). (2.32)

Тогда в случае статической характеристики нелинейного элемента условие (2.31) принимает вид

W лч (jw) = - . (2.33)

Решение уравнения (2.33) относительно частоты и амплитуды автоколебаний можно получить графически как точку пересечения годографа частотной характеристики линейной части системы W лч (jw) и годографа обратной характеристики нелинейной части , взятой с обратным знаком (рис. 2.11). Если эти годографы не пересекаются, то режим автоколебаний в исследуемой системе не существует.

Рис. 2.11. Годографы линейной и нелинейной частей системы

Для устойчивости автоколебательного режима с частотой w 0 и амплитудой a 0 требуется, чтобы точка на годографе нелинейной части - , соответствующая увеличенной амплитуде a 0 +Da по сравнению со значением в точке пересечения годографов, не охватывалась годографом частотной характеристики линейной части системы и охватывалась точка, соответствующая уменьшенной амплитуде a 0 -Da .

На рис. 2.11 дан пример расположения годографов для случая, когда в нелинейной системе существуют устойчивые автоколебания, так как a 3 < a 0 < a 4 .

Исследование по логарифмическим частотным характеристикам .

При исследовании нелинейных систем по логарифмическим частотным характеристикам условие (2.31) переписывают отдельно для модуля и аргумента эквивалентного комплексного коэффициента передачи разомкнутой нелинейной системы

mod W лч (jw)W э (jw, a ) = 1;

arg W лч (jw)W э (jw, a ) = - (2k+1)p, при k=0, 1, 2, ...

с последующим переходом к логарифмическим амплитудной и фазовой характеристикам

L лч (w) + L э (w, a ) = 0; (2.34)

y лч (w) + y э (w, a ) = - (2k+1)p, при k=0, 1, 2, ... (2.35)

Условия (2.34) и (2.35) позволяют определить амплитуду a 0 и частоту w 0 периодического решения уравнения (2.25) по логарифмическим характеристикам линейной части системы L лч (w), y лч (w) и нелинейного элемента L э (w, a ), y э (w, a ).

Автоколебания с частотой w 0 и амплитудой a 0 будут существовать в нелинейной системе, если периодическое решение уравнения (2.25) устойчиво. Приближенный метод исследования устойчивости периодического решения заключается в том, что исследуется поведение системы при частоте w = w 0 и значениях амплитуды a = a 0 + Da и a = a 0 - Da , где Da > 0 - малое приращение амплитуды. При исследовании устойчивости периодического решения при a 0 + Da и a 0 - Da по логарифмическим характеристикам пользуются критерием устойчивости Найквиста.

В нелинейных системах с однозначными статическими характеристиками нелинейного элемента коэффициент гармонической линеаризации q¢(a ) равен нулю, а следовательно, равен нулю и фазовый сдвиг y э (a ), вносимый элементом. В этом случае периодическое решение уравнения системы

x = 0 (2.36)

существует, если выполняются условия:

L лч (w) = - L э (a ); (2.37)

y лч (w) = - (2k+1)p, при k=0, 1, 2, ... (2.38)

Уравнение (2.38) позволяет определить частоту w = w 0 периодического решения, а уравнение (2.37) - его амплитуду a = a 0 .

При сравнительно простой линейной части решения этих уравнений могут быть получены аналитически. Однако в большинстве случаев их целесообразно решать графически (рис. 2.12).

При исследовании устойчивости периодического решения уравнения (2.36), т.е. при определении существования автоколебаний в нелинейной системе с однозначной нелинейной статической характеристикой пользуются критерием Найквиста : периодическое решение с частотой w = w 0 и амплитудой a = a 0 устойчиво, если при изменении частоты от нуля до бесконечности и положительном приращении амплитуды Da > 0 разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов фазовой характеристики линейной части системы y лч (w) через линию -p равна нулю в диапазоне частот, где L лч (w)³-L э (w 0 ,a 0 +Da ), и не равна нулю в диапазоне частот, где L лч (w)³-L э (w 0 ,a 0 -Da ).

На рис. 2.12 показан пример определения периодических решений в нелинейной системе с ограничением. В такой системе имеются три периодических решения с частотами w 01 , w 02 и w 03 , определяемыми в точках пересечения фазовой характеристики y лч (w) с линией -180 0 . Амплитуды периодического решения a 01 , a 02 и a 03 определяются из условия (2.37) по логарифмическим амплитудным характеристикам нелинейного элемента -L э (w 01 , a ), -L э (w 02 , a ) и -L э (w 03 , a ).

Рис. 2.12. Логарифмические амплитудные и фазовая характеристики

Из трех решений, определенных на рис. 2.12, устойчивы два. Решение с частотой w = w 01 и амплитудой a = a 01 устойчиво, так как в диапазоне частот 1, где L лч (w)³-L э (w 01 ,a 01 +Da ), фазовая характеристика y лч (w) не пересекает линию -180 0 , а в диапазоне частот 2, где L лч (w)³-L э (w 01 ,a 01 -Da ), фазовая характеристика y лч (w) один раз пересекает линию -180 0 . Решение с частотой w = w 02 и амплитудой a = a 02 неустойчиво, так как в диапазоне частот, где L лч (w)³-L э (w 02 ,a 02 +Da ), фазовая характеристика y лч (w) один раз пересекает линию -180 0 . Высокочастотное периодическое решение с частотой w = w 03 и амплитудой a = a 03 устойчиво, так как в диапазоне частот, где L лч (w)³-L э (w 03 ,a 03 +Da ), имеется один положительный и один отрицательный переход фазовой характеристики y лч (w) через линию -180 0 , а в диапазоне частот, где L лч (w)³-L э (w 03 ,a 03 -Da ), имеются два положительных и один отрицательный переход фазовой характеристики y лч (w) через линию -180 0 .

В рассмотренной системе при малых по величине возмущениях установятся высокочастотные автоколебания с частотой w 03 и амплитудой a 03 , а при больших по величине возмущениях - низкочастотные автоколебания с частотой w 01 и амплитудой a 01 .

Пример. Исследовать автоколебательные режимы в нелинейной системе, линейная часть которой имеет следующую передаточную функцию

где k=200 c -1 ; T 1 =1.5 c; T 2 =0.015 c,

а в качестве нелинейного элемента используется реле с зоной нечувствительности (рис. 2.4,б) при с=10 В, b=2 В.

Р е ш е н и е. По таблице для реле с зоной нечувствительности находим коэффициенты гармонической линеаризации:

При a ³ b, q¢(a ) = 0.

При построении характеристик нелинейного элемента целесообразно использовать относительное по сравнению с зоной нечувствительности значение амплитуды входного гармонического воздействия m = a /b. Перепишем выражение коэффициента гармонической линеаризации в виде

где - коэффициент передачи реле;

Относительная амплитуда.

Коэффициент передачи реле k н отнесем к линейной части системы и получим нормированные коэффициенты гармонической линеаризации

и нормированную логарифмическую амплитудную характеристику релейного элемента с обратным знаком

Если m ® 1, то -L э (m) ® ¥; а при m >> 1 -L э (m) = 20 lg m. Таким образом, асимптотами нормированной логарифмической амплитудной характеристики с обратным знаком являются вертикальная прямая и прямая с наклоном +20дб/дек, которые проходят через точку с координатами L = 0, m = 1 (рис. 2.13).

Рис. 2.13. Определение периодического решения в релейной системе

с зоной нечувствительности

a 0 = b´m 1 = = 58 В.

Для решения вопроса о существовании автоколебаний в соответствии с нормированной логарифмической амплитудной характеристикой с обратным знаком нелинейного элемента и передаточной функцией линейной части системы

на рис. 2.13 построены логарифмические характеристики L лч (w), -L э (m) и y лч (w).

Частота периодического решения w 0 = 4.3 c -1 определяется в точке пересечения фазовой характеристики y лч (w) и линии -180 0 . Амплитуды периодических решений m 1 = 29 и m 2 = 1.08 находятся по характеристикам L лч (w) и -L э (m). Периодическое решение с малой амплитудой m 2 неустойчиво, а периодическое решение с большой амплитудой m 1 устойчиво.

Таким образом, в исследуемой релейной системе существует автоколебательный режим с частотой w 0 = 4.3 c -1 и амплитудой a 0 = b´m 1 = = 58 В.