Уравнение поверхности и уравнение линии в пространстве. Основные поверхности пространства и их построение Уравнение плоскости в отрезках

1.7.1. Плоскость.

Рассмотрим в декартовом базисе произвольную плоскость Р и вектор нормали (перпендикулярный) к ней `n (А, В, С). Возьмем в этой плоскости произвольную фиксированную точку М0(х0, у0, z0) и текущую точку М(х, у, z).

Очевидно, что ?`n = 0 (1.53)

(см.(1.20) при j = p /2). Это уравнение плоскости в векторной форме. Переходя к координатам, получим общее уравнение плоскости

А(х – х0) + В(у – у0) + С(z – z0) = 0 ?Ах + Ву + Сz + D = 0 (1.54).

(D = –Ах0– Ву0 – Сz0; А2 + В2 + С2 ? 0).

Можно показать, что в декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет плоскость, (т.е. плоскость есть поверхность первого порядка и поверхность первого порядка есть плоскость).

Рассмотрим некоторые частные случаи расположения плоскости, заданной общим уравнением:

А = 0 – параллельна оси Ох; В = 0 – параллельна оси Оу; С = 0 – параллельна оси Оz. (Такие плоскости, перпендикулярные одной из координатных плоскостей, называют проектирующими); D = 0 – проходит через начало координат; А = В = 0 – перпендикулярна оси Оz (параллельна плоскости хОу); А = В = D = 0 – совпадает с плоскостью хОу (z = 0). Аналогично анализируются все остальные случаи.

Если D ? 0, то, разделив обе части (1.54) на -D, можно привести уравнение плоскости к виду: (1.55),

а = – D /А, b = –D/ В, с =–D /С. Соотношение (1.55) называетcя уравнением плоскости в отрезках; а, b, с – абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями Ох, Оу, Оz, а |a|, |b|, |c| – длины отрезков, отсекаемых плоскостью на соответствующих осях от начала координат.

Умножая обе части (1.54) на нормирующий множитель (mD xcosa + ycosb + zcosg – p = 0 (1.56)

где cosa = Аm, cosb = Вm, cosg = Сm – направляющие косинусы нормали к плоскости, р – расстояние до плоскости от начала координат.

Рассмотрим основные соотношения, используемые в расчетах. Угол между плоскостями А1х + В1у + С1z + D1 = 0 и А2х + В2у + С2z + D2 = 0 легко определить как угол между нормалями этих плоскостей `n1 (А1, В1, С1) и

`n2 (А2, В2, С2): (1.57)

Из (1.57) легко получить условие перпендикулярности

А1А2 + В1 В2 + С1 С2 = 0 (1.58)

и параллельности (1.59) плоскостей и их нормалей.

Расстояние от произвольной точки М0(х0, у0, z0) до плоскости (1.54)

определяется выражением: (1.60)

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки М1(х1, у1, z1), М2(х2, у2, z2), М3(х3, у3, z3) удобнее всего записать используя условие компланарности (1.25) векторов где М(х, у, z) – текущая точка плоскости.

(1.61)

Приведем уравнение пучка плоскостей (т.е.

Множества плоскостей, проходящих через одну прямую) – его удобно использовать в ряде задач.

(А1х + В1у + С1z + D1) + l(А2х + В2у + С2z + D2) = 0 (1.62)

Где l Î R, а в скобках - уравнения двух любых плоскостей пучка.

Контрольные вопросы.

1) Как проверить, что данная точка лежит на поверхности, заданной данным уравнением?

2) Каков характерный признак, отличающий уравнение плоскости в декартовой системе координат от уравнения других поверхностей?

3) Как расположена плоскость относительно системы координат, если в её уравнении отсутствует: а) свободный член; б) одна из координат; в) две координаты; г) одна из координат и свободный член; д) две координаты и свободный член?

1) Даны точки М1(0,-1,3) и М2(1,3,5). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М1 и перпендикулярной к вектору Выбрать верный ответ:

а) ; б) .

2) Найти угол между плоскостями и . Выбрать верный ответ:

а) 135о, б) 45о

1.7.2. Прямая. Плоскости, нормали которых не коллинеарны, или пересекаются, однозначно определяя прямую как линию их пересечения, что и записывается следующим образом:

Через эту прямую можно провести бесконечно много плоскостей (пучок плоскостей (1.62)), в том числе и проектирующие ее на координатные плоскости. Чтобы получить их уравнения, достаточно преобразовать (1.63), исключив из каждого уравнения по одной неизвестной и приведя их, например, к виду (1.63`).

Поставим задачу – провести через точку М0(х0,у0,z0) прямую, параллельную вектору `S (l, m, n) (его называют направляющим). Возьмем на искомой прямой произвольную точку М(х,у,z). Векторы и должны быть коллинеарны, откуда получаем канонические уравнения прямой.

(1.64) или (1.64`)

где cosa, cosb, cosg – направляющие косинусы вектора `S. Из (1.64) легко получить уравнение прямой, проходящей через заданные точки М1(х1, у1, z1) и М2(х2, у2, z2) (она параллельна )

Или (1.64``)

(Значения дробей в (1.64) равны для каждой точки прямой и могут быть обозначены через t, где tR. Это позволяет ввести параметрические уравнения прямой

Каждому значению параметра t соответствует набор координат х, у, z точки на прямой или (иначе) - значения неизвестных, удовлетворяющих уравнениям прямой).

Используя уже известные свойства векторов и операций над ними и канонические уравнения прямой легко получить следующие формулы:

Угол между прямыми: (1.65)

Условие параллельности (1.66).

перпендикулярности l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1.67) прямых.

Угол между прямой и плоскостью (легко получить, найдя угол между прямой и нормалью к плоскости, составляющий в сумме с искомым p/2)

(1.68)

Из (1.66) получаем условие параллельности Al + Bm + Cn = 0 (1.69)

и перпендикулярности (1.70) прямой и плоскости. Необходимое и достаточное условие нахождения двух прямых в одной плоскости легко получить из условия компланарности (1.25).

(1.71)

контрольные вопросы.

1) Каковы способы задания прямой линии в пространстве?

1) Написать уравнения прямой, проходящей через точку А(4,3,0) и параллельной вектору Указать верный ответ:

а) ; б) .

2) Написать уравнения прямой, проходящей через точки А(2,-1,3) и В(2,3,3). Указать верный ответ.

а) ; б) .

3) Найти точку пересечения прямой с плоскостью: , . Указать верный ответ:

а) (6,4,5); б) (6,-4,5).

1.7.3. Поверхности второго порядка. Если линейное уравнение в трехмерном декартовом базисе однозначно определяет плоскость, любое нелинейное уравнение, содержащее х, у, z описывает какую – то иную поверхность. Если уравнение имеет вид

Ах2 + Ву2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, то оно описывает поверхность второго порядка (общее уравнение поверхности второго порядка). Выбором или преобразованием декартовых координат уравнение можно максимально упростить, приведя к одной из следующих форм, описывающих соответствующую поверхность.

1. Канонические уравнения цилиндров второго порядка, образующие которых параллельны оси Oz, а направляющими служат соответствующие кривые второго порядка, лежащие в плоскости хОу:

(1.72), (1.73), у2 = 2рх (1.74)

эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры соответственно.

(Напомним, что цилиндрической называют поверхность, полученную перемещением прямой, называемой образующей, параллельно самой себе. Линию пересечения этой поверхности с плоскостью, перпендикулярной образующей, называют направляющей – она определяет форму поверхности).

По аналогии можно записать уравнения таких же цилиндрических поверхностей с образующими, параллельными оси Оу и оси Oх. Направляющую можно задать, как линию пересечения поверхности цилиндра и соответствующей координатной плоскости, т.е. системой уравнений вида:

2. Уравнения конуса второго порядка с вершиной в начале координат:

(1.75)

(осями конуса служат оси Oz, Oy и Ох соответственно)

3. Каноническое уравнение эллипсоида: (1.76);

Частными случаями являются эллипсоиды вращения, например – поверхность, полученная вращением эллипса вокруг оси Оz (При

а > с эллипсоид сжат, при a х2 + у2+ z2 + = r2 – уравнение сферы радиуса r с центром в начале координат).

4. Каноническое уравнение однополостного гиперболоида

(знак “ – ” может стоять перед любым из трех слагаемых левой части – это изменяет только положение поверхности в пространстве). Частные случаи – однополостные гиперболоиды вращения, например – поверхность, полученная вращением гиперболы вокруг оси Oz (мнимой оси гиперболы).

5. Каноническое уравнение двухполостного гиперболоида

(знак “ – ” может стоять перед любым из трех слагаемых левой части).

Частные случаи – двухполостные гиперболоиды вращения, например – поверхность, полученная вращением гиперболы вокруг оси Оz (действительной оси гиперболы).

6. Каноническое уравнение эллиптического параболоида

(p >0, q >0) (1.79)

7. Каноническое уравнение гиперболического параболоида

(p >0, q >0) (1.80)

(переменная z может поменяться местами с любой из переменных х и у – изменится положение поверхности в пространстве).

Отметим, что представление об особенностях (форме) этих поверхностей легко получить, рассматривая сечения этих поверхностей плоскостями, перпендикулярными осям координат.

контрольные вопросы.

1) Какое множество точек в пространстве определяет уравнение ?

2) Каковы канонические уравнения цилиндров второго порядка; конуса второго порядка; эллипсоида; однополостного гиперболоида; двухполостного гиперболоида; эллиптического параболоида; гиперболического параболоида?

1) Найти центр и радиус сферы и указать верный ответ:

а) С(1,5;-2,5;2), ; б) С(1,5;2,5;2), ;

2) Определить вид поверхности, заданной уравнениями: . Указать верный ответ:

а) однополостный гиперболоид; гиперболический параболоид; эллиптический параболоид; конус.

б) двухполостный гиперболоид; гиперболический параболоид; эллиптический параболоид; конус.

С тем отличием, что вместо «плоских» графиков мы рассмотрим наиболее распространенные пространственные поверхности, а также научимся грамотно их строить от руки. Я довольно долго подбирал программные средства для построения трёхмерных чертежей и нашёл пару неплохих приложений, но, несмотря на всё удобство использования, эти программы плохо решают важный практический вопрос. Дело в том, что в обозримом историческом будущем студенты по-прежнему будут вооружены линейкой с карандашом, и, даже располагая качественным «машинным» чертежом, многие не смогут корректно перенести его на клетчатую бумагу. Поэтому в методичке особое внимание уделено технике ручного построения, и значительная часть иллюстраций страницы представляет собой handmade-продукт.

Чем отличается этот справочный материал от аналогов?

Обладая приличным практическим опытом, я очень хорошо знаю, с какими поверхностями чаще всего приходится иметь дело в реальных задачах высшей математики, и надеюсь, что эта статья поможет вам в кратчайшие сроки пополнить свой багаж соответствующими знаниями и прикладными навыками, которых в 90-95% случаев должно хватить.

Что нужно уметь на данный момент?

Самое элементарное:

Во-первых, необходимо уметь правильно строить пространственную декартову систему координат (см. начало статьи Графики и свойства функций ) .

Что вы приобретёте после прочтения этой статьи?

Бутылку После освоения материалов урока вы научитесь быстро определять тип поверхности по её функции и/или уравнению, представлять, как она расположена в пространстве, и, конечно же, выполнять чертежи. Ничего страшного, если не всё уложится в голове с 1-го прочтения – к любому параграфу по мере надобности всегда можно вернуться позже.

Информация по силам каждому – для её освоения не нужно каких-то сверхзнаний, особого художественного таланта и пространственного зрения.

Начинаем!

На практике пространственная поверхность обычно задаётся функцией двух переменных или уравнением вида (константа правой части чаще всего равна нулю либо единице) . Первое обозначение больше характерно для математического анализа, второе – для аналитической геометрии . Уравнение , по существу, является неявно заданной функцией 2 переменных, которую в типовых случаях легко привести к виду . Напоминаю простейший пример c :

– уравнение плоскости вида .

– функция плоскости в явном виде .

Давайте с неё и начнём:

Распространенные уравнения плоскостей

Типовые варианты расположения плоскостей в прямоугольной системе координат детально рассмотрены в самом начале статьи Уравнение плоскости . Тем не менее, ещё раз остановимся на уравнениях, которые имеют огромное значение для практики.

Прежде всего, вы должны на полном автомате узнавать уравнения плоскостей, которые параллельны координатным плоскостям . Фрагменты плоскостей стандартно изображают прямоугольниками, которые в последних двух случаях выглядят, как параллелограммы. По умолчанию размеры можно выбрать любые (в разумных пределах, конечно), при этом желательно, чтобы точка, в которой координатная ось «протыкает» плоскость являлась центром симметрии:


Строго говоря, координатные оси местами следовало изобразить пунктиром, но во избежание путаницы будем пренебрегать данным нюансом.

– (левый чертёж) неравенство задаёт дальнее от нас полупространство, исключая саму плоскость ;

– (средний чертёж) неравенство задаёт правое полупространство, включая плоскость ;

– (правый чертёж) двойное неравенство задаёт «слой», расположенный между плоскостями , включая обе плоскости.

Для самостоятельной разминки:

Пример 1

Изобразить тело, ограниченное плоскостями
Составить систему неравенств, определяющих данное тело.

Из-под грифеля вашего карандаша должен выйти старый знакомый прямоугольный параллелепипед . Не забывайте, что невидимые рёбра и грани нужно прочертить пунктиром. Готовый чертёж в конце урока.

Пожалуйста, НЕ ПРЕНЕБРЕГАЙТЕ учебными задачами, даже если они кажутся слишком простыми. А то может статься, раз пропустили, два пропустили, а затем потратили битый час, вымучивая трёхмерный чертёж в каком-нибудь реальном примере. Кроме того, механическая работа поможет гораздо эффективнее усвоить материал и развить интеллект! Не случайно в детском саду и начальной школе детей загружают рисованием, лепкой, конструкторами и другими заданиями на мелкую моторику пальцев. Простите за отступление, не пропадать же двум моим тетрадям по возрастной психологии =)

Следующую группу плоскостей условно назовём «прямыми пропорциональностями» – это плоскости, проходящие через координатные оси:

2) уравнение вида задаёт плоскость, проходящую через ось ;

3) уравнение вида задаёт плоскость, проходящую через ось .

Хотя формальный признак очевиден (какая переменная отсутствует в уравнении – через ту ось и проходит плоскость) , всегда полезно понимать суть происходящих событий:

Пример 2

Построить плоскость

Как лучше осуществить построение? Предлагаю следующий алгоритм:

Сначала перепишем уравнение в виде , из которого хорошо видно, что «игрек» может принимать любые значения. Зафиксируем значение , то есть, будем рассматривать координатную плоскость . Уравнения задают пространственную прямую , лежащую в данной координатной плоскости. Изобразим эту линию на чертеже. Прямая проходит через начало координат, поэтому для её построения достаточно найти одну точку. Пусть . Откладываем точку и проводим прямую.

Теперь возвращаемся к уравнению плоскости . Поскольку «игрек» принимает любые значения, то построенная в плоскости прямая непрерывно «тиражируется» влево и вправо. Именно так и образуется наша плоскость , проходящая через ось . Чтобы завершить чертёж, слева и справа от прямой откладываем две параллельные линии и поперечными горизонтальными отрезками «замыкаем» символический параллелограмм:

Так как условие не накладывало дополнительных ограничений, то фрагмент плоскости можно было изобразить чуть меньших или чуть бОльших размеров.

Ещё раз повторим смысл пространственного линейного неравенства на примере . Как определить полупространство, которое оно задаёт? Берём какую-нибудь точку, не принадлежащую плоскости , например, точку из ближнего к нам полупространства и подставляем её координаты в неравенство:

Получено верное неравенство , значит, неравенство задаёт нижнее (относительно плоскости ) полупространство, при этом сама плоскость не входит в решение.

Пример 3

Построить плоскости
а) ;
б) .

Это задания для самостоятельного построения, в случае затруднений используйте аналогичные рассуждения. Краткие указания и чертежи в конце урока.

На практике особенно распространены плоскости, параллельные оси . Частный случай, когда плоскость проходит через ось, только что был в пункте «бэ», и сейчас мы разберём более общую задачу:

Пример 4

Построить плоскость

Решение : в уравнение в явном виде не участвует переменная «зет», а значит, плоскость параллельна оси аппликат. Применим ту же технику, что и в предыдущих примерах.

Перепишем уравнение плоскости в виде из которого понятно, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и в «родной» плоскости начертим обычную «плоскую» прямую . Для её построения удобно взять опорные точки .

Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная прямая непрерывно «размножается» вверх и вниз, образуя тем самым искомую плоскость . Аккуратно оформляем параллелограмм разумной величины:

Готово.

Уравнение плоскости в отрезках

Важнейшая прикладная разновидность. Если все коэффициенты общего уравнения плоскости отличны от нуля , то оно представимо в виде , который называется уравнением плоскости в отрезках . Очевидно, что плоскость пересекает координатные оси в точках , и большое преимущество такого уравнения состоит в лёгкости построения чертежа:

Пример 5

Построить плоскость

Решение : сначала составим уравнение плоскости в отрезках. Перебросим свободный член направо и разделим обе части на 12:

Нет, здесь не опечатка и все дела происходят именно в пространстве! Исследуем предложенную поверхность тем же методом, что недавно использовали для плоскостей. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» принимает любые значения. Зафиксируем и построим в плоскости эллипс . Так как «зет» принимает все значения, то построенный эллипс непрерывно «тиражируется» вверх и вниз. Легко понять, что поверхность бесконечна :

Данная поверхность называется эллиптическим цилиндром . Эллипс (на любой высоте) называется направляющей цилиндра, а параллельные прямые, проходящие через каждую точку эллипса называются образующими цилиндра (которые в прямом смысле слова его и образуют). Ось является осью симметрии поверхности (но не её частью!).

Координаты любой точки, принадлежащей данной поверхности, обязательно удовлетворяют уравнению .

Пространственное неравенство задаёт «внутренность» бесконечной «трубы», включая саму цилиндрическую поверхность, и, соответственно, противоположное неравенство определяет множество точек вне цилиндра.

В практических задачах наиболее популярен частный случай, когда направляющей цилиндра является окружность :

Пример 8

Построить поверхность, заданную уравнением

Бесконечную «трубу» изобразить невозможно, поэтому художества ограничиваются, как правило, «обрезком».

Сначала удобно построить окружность радиуса в плоскости , а затем ещё пару окружностей сверху и снизу. Полученные окружности (направляющие цилиндра) аккуратно соединяем четырьмя параллельными прямыми (образующими цилиндра):

Не забываем использовать пунктир для невидимых нам линий.

Координаты любой точки, принадлежащей данному цилиндру, удовлетворяют уравнению . Координаты любой точки, лежащей строго внутри «трубы», удовлетворяют неравенству , а неравенство задаёт множество точек внешней части. Для лучшего понимания рекомендую рассмотреть несколько конкретных точек пространства и убедиться в этом самостоятельно.

Пример 9

Построить поверхность и найти её проекцию на плоскость

Перепишем уравнение в виде из которого следует, что «икс» принимает любые значения. Зафиксируем и в плоскости изобразим окружность – с центром в начале координат, единичного радиуса. Так как «икс» непрерывно принимает все значения, то построенная окружность порождает круговой цилиндр с осью симметрии . Рисуем ещё одну окружность (направляющую цилиндра) и аккуратно соединяем их прямыми (образующими цилиндра). Местами получились накладки, но что делать, такой уж наклон:

На этот раз я ограничился кусочком цилиндра на промежутке и это не случайно. На практике зачастую и требуется изобразить лишь небольшой фрагмент поверхности.

Тут, к слову, получилось 6 образующих – две дополнительные прямые «закрывают» поверхность с левого верхнего и правого нижнего углов.

Теперь разбираемся с проекцией цилиндра на плоскость . Многие читатели понимают, что такое проекция, но, тем не менее, проведём очередную физкульт-пятиминутку. Пожалуйста, встаньте и склоните голову над чертежом так, чтобы остриё оси смотрело перпендикулярно вам в лоб. То, чем с этого ракурса кажется цилиндр – и есть его проекция на плоскость . А кажется он бесконечной полосой, заключенным между прямыми , включая сами прямые. Данная проекция – это в точности область определения функций (верхний «жёлоб» цилиндра), (нижний «жёлоб»).

Давайте, кстати, проясним ситуацию и с проекциями на другие координатные плоскости. Пусть лучи солнца светят на цилиндр со стороны острия и вдоль оси . Тенью (проекцией) цилиндра на плоскость является аналогичная бесконечная полоса – часть плоскости , ограниченная прямыми ( – любое), включая сами прямые.

А вот проекция на плоскость несколько иная. Если смотреть на цилиндр из острия оси , то он спроецируется в окружность единичного радиуса , с которой мы начинали построение.

Пример 10

Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости

Это задача для самостоятельного решения. Если условие не очень понятно, возведите обе части в квадрат и проанализируйте результат; выясните, какую именно часть цилиндра задаёт функция . Используйте методику построения, неоднократно применявшуюся выше. Краткое решение, чертёж и комментарии в конце урока.

Эллиптические и другие цилиндрические поверхности могут быть смещены относительно координатных осей, например:

(по знакомым мотивам статьи о линиях 2-го порядка ) – цилиндр единичного радиуса с линией симметрии, проходящей через точку параллельно оси . Однако на практике подобные цилиндры попадаются довольно редко, и совсем уж невероятно встретить «косую» относительно координатных осей цилиндрическую поверхность.

Параболические цилиндры

Как следует из названия, направляющей такого цилиндра является парабола .

Пример 11

Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости.

Не мог удержаться от этого примера =)

Решение : идём проторенной тропой. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и построим обычную параболу на плоскости , предварительно отметив тривиальные опорные точки . Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная парабола непрерывно «тиражируется» вверх и вниз до бесконечности. Откладываем такую же параболу, скажем, на высоте (в плоскости) и аккуратно соединяем их параллельными прямыми (образующими цилиндра ):

Напоминаю полезный технический приём : если изначально нет уверенности в качестве чертежа, то линии сначала лучше прочертить тонко-тонко карандашом. Затем оцениваем качество эскиза, выясняем участки, где поверхность скрыта от наших глаз, и только потом придаём нажим грифелю.

Проекции.

1) Проекцией цилиндра на плоскость является парабола . Следует отметить, что в данном случае нельзя рассуждать об области определения функции двух переменных – по той причине, что уравнение цилиндра не приводимо к функциональному виду .

2) Проекция цилиндра на плоскость представляет собой полуплоскость , включая ось

3) И, наконец, проекцией цилиндра на плоскость является вся плоскость .

Пример 12

Построить параболические цилиндры:

а) , ограничиться фрагментом поверхности в ближнем полупространстве;

б) на промежутке

В случае затруднений не спешим и рассуждаем по аналогии с предыдущими примерами, благо, технология досконально отработана. Не критично, если поверхности будут получаться немного корявыми – важно правильно отобразить принципиальную картину. Я и сам особо не заморачиваюсь над красотой линий, если получился сносный чертёж «на троечку», обычно не переделываю. В образце решения, кстати, использован ещё один приём, позволяющий улучшить качество чертежа;-)

Гиперболические цилиндры

Направляющими таких цилиндров являются гиперболы . Этот тип поверхностей, по моим наблюдениям, встречается значительно реже, чем предыдущие виды, поэтому я ограничусь единственным схематическим чертежом гиперболического цилиндра :

Принцип рассуждения здесь точно такой же – обычная школьная гипербола из плоскости непрерывно «размножается» вверх и вниз до бесконечности.

Рассмотренные цилиндры относятся к так называемым поверхностям 2-го порядка , и сейчас мы продолжим знакомиться с другими представителями этой группы:

Эллипсоид. Сфера и шар

Каноническое уравнение эллипсоида в прямоугольной системе координат имеет вид , где – положительные числа (полуоси эллипсоида), которые в общем случае различны . Эллипсоидом называют как поверхность , так и тело , ограниченное данной поверхностью. Тело, как многие догадались, задаётся неравенством и координаты любой внутренней точки (а также любой точки поверхности) обязательно удовлетворяют этому неравенству. Конструкция симметрична относительно координатных осей и координатных плоскостей:

Происхождение термина «эллипсоид» тоже очевидно: если поверхность «разрезать» координатными плоскостями, то в сечениях получатся три различных (в общем случае)

В пространстве аналитическая геометрия изучает поверхности, которые в прямоугольных декартовых координатах определяются алгебраическими уравнениями первой, второй и т.д. степени относительно X,Y,Z:

Ax+By+Cz+D=0 (1)

А x²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Mx+2Ny+2Lz+K=0 (2)

и т.п. Порядок уравнения называется порядком поверхности им определяемой. Мы уже видели, что уравнение первого порядка (линейное) (1) всегда задаёт плоскость - это единственная поверхность первого порядка. Поверхностей второго порядка уже много. Рассмотрим наиболее важные из них.

§2. Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей.

Пусть в плоскости XОY, например, задана некоторая линия L, её уравнение есть F(x,y)=0 (1) . Тогда множество прямых, параллельных оси oz (образующие) и проходящих через точки на L, образуют поверхность S, называемую цилиндрической поверхностью.

Покажем, что уравнение (1), не содержащее переменной z, и есть уравнение этой цилиндрической поверхности S. Возьмём произвольную точку М(x,y,z), принадлежащую S. Пусть образующая, проходя через М пересекает L в точке N. Точка N имеет координаты N(x,y,0), они удовлетворяют уравнению (1), т.к. (·)N принадлежит L. Но тогда и координаты (x,y,z,) удовлетворяют (1), т.к. оно не содержит z. Значит, координаты любой точки цилиндрической поверхности S удовлетворяют уравнению (1). Значит, F(x,y)=0 - уравнение этой цилиндрической поверхности. Кривая L называется направляющей (кривой) цилиндрической поверхности. Заметим, что в пространственной системе L должна задаваться, вообще-то, двумя уравнениями F(x,y)=0 , z=0, как линия пересечения.

Примеры:

Направляющими в плоскости хоу являются эллипс, парабола, гипербола. Очевидно, уравнения F=(y,z)=0 и F(x,z)=0 задают соответственно цилиндрические поверхности с образующими параллельными оси OX и OY. Их направляющие лежат в плоскостях YOZ и XOZ соответственно.

Замечание. Цилиндрическая поверхность не обязательно является поверхностью второго порядка. Например, есть цилиндрическая поверхность 3го порядка, а уравнениеy=sin(x) задаёт синусоидальный цилиндр, которому никакого порядка не приписывают, это вообще, не алгебраическая поверхность.

§3. Уравнение поверхности вращения.

Некоторые поверхности 2го порядка являются поверхностями вращения. Пусть в плоскости YOZ лежит некоторая кривая L F(y,z)=0(1). Выясним, каково будет уравнение поверхности S, образованной вращением кривой (1) вокруг оси oz.

Возьмем на поверхности S произвольную точку M(x,y,z). Ее можно считать полученной из (.) N принадлежащей L , тогда аппликаты точек M и N равны (=z). Ордината точки N является тут радиусом вращения, потому .Но С(0,0,z) и потому . Но точка N лежит на кривой и поэтому её координаты ей удовлетворяют. Значит (2) . Уравнению (2) удовлетворяют координаты поверхности вращения S. Значит (2) и есть уравнение поверхности вращения. Знаки «+» или «-» берутся в зависимости от того в какой части плоскости YOZ размещается кривая (1), где у>0 или .

Итак, правило: Чтобы найти уравнение поверхности, образованной вращением кривой L вокруг оси OZ, нужно в уравнении кривой заменить переменную у

Аналогично составляются уравнения поверхностей вращения вокруг оси OX и OY.

§7. Плоскость как поверхность первого порядка. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору Введѐм в пространстве прямоугольную декартову систему координат Oxyz и рассмотрим уравнение первой степени (или линейное уравнение) относительно x, y, z: (7.1) Ax  By  Cz  D  0, A2  B2  C 2  0 . Теорема 7.1. Любая плоскость может быть задана в произвольной прямоугольной декартовой системе координат уравнением вида (7.1). Точно так же, как и в случае прямой на плоскости, справедлива теорема, обратная теореме 7.1. Теорема 7.2. Любое уравнение вида (7.1) задаѐт в пространстве плоскость. Доказательство теорем 7.1 и 7.2 можно провести аналогично доказательству теорем 2.1, 2.2. Из теорем 7.1 и 7.2 следует, что плоскость и только она является поверхностью первого порядка. Уравнение (7.1) называется общим уравнением пло-скости. Его  коэффициенты A, B, C трактуются геометрически как координаты вектора n , перпендикулярного плоскости, определяемой этим уравнением. Этот вектор  n(A, B, C) называется вектором нормали к данной плоскости. Уравнение (7.2) A(x  x0)  B(y  y0)  C (z  z0)  0 при всевозможных значениях коэффициентов A, B, C задаѐт все плоскости, про-ходящие через точку M 0 (x0 , y0 , z0) . Оно называется уравнением связки плоскостей. Выбор конкретных значений A, B, C в (7.2) означает выбор плоскости P из связки, проходящей через точку M 0 перпендикулярно  заданному вектору n(A, B, C) (рис.7.1). Пример 7.1. Написать уравнение плоскости Р, проходящей через точку   А(1, 2, 0) параллельно векторам a  (1, 2,–1), b  (2, 0, 1) .    Вектор нормали n к Р ортогонален данным векторам a и b (рис. 7.2),   поэтому за n можно взять их векторное n произведение: А    Р i j k    2 1  1 1   2 n  a  b  1 2  1  i  j 2 1  k 12 0  0 1 2 0 1 n   a    b 2i  3 j  4k . Подставим координаты Рис. 7.2. К примеру 7.1 P M0  точки M 0 и вектора n в уравнение (7.2), получим Рис. 7.1. К уравнению уравнение плоскости связки плоскостей P: 2(x  1)  3(y  2)  4z  0 или P: 2x  3y  4z  4  0 .◄ 1 Если два из коэффициентов A, B, C уравнения (7.1) равны нулю, оно задаѐт плоскость, параллельную одной из координатных плоскостей. Например, при A  B  0 , C  0 – плоскость P1: Cz  D  0 или P1: z   D / C (рис. 7.3). Она па-раллельна плоскости Oxy, ибо еѐ вектор  нормали n1(0, 0, C) перпендикулярен этой плоскости. При A  C  0 , B  0 или B  C  0 , A  0 уравнение (7.1) определяет плоскости P2: By  D  0 и P3: Ax  D  0 , параллельные координатным плоскостям Oxz и Oyz, так как   их векторы нормали n2(0, B, 0) и n3(A, 0, 0) им перпендикулярны (рис. 7.3). Если только один из коэффициентов A, B, C уравнения (7.1) равен нулю, то оно задаѐт плоскость, параллельную одной из координатных осей (или еѐ со-держащую, если D  0). Так, плоскость P: Ax  By  D  0 параллельна оси Oz, z z  n1  n  n2 P1 L P O  n3 x y O P2 y P3 x Рис. 7.4. Плоскость P: Ax  B y  D  0 , параллельная оси Oz Рис. 7.3. Плоскости параллельные плоскостям координат  поскольку еѐ вектор нормали n(A, B, 0) перпендикулярен оси Oz. Заметим, что она проходит через прямую L: Ax  By  D  0 , лежащую в плоскости Oxy (рис. 7.4). При D  0 уравнение (7.1) задаѐт плоскость, проходящую через начало координат. Пример 7.2. Найти значения параметра , при которых уравнение x  (2  2) y  (2    2)z    3  0 определяет плоскость P: а) параллельную одной из координатных плоскостей; б) параллельную одной из координатных осей; в) проходящую через начало координат. Запишем данное уравнение в виде x  (  2) y  (  2)(  1) z    3  0 . (7.3) При любом значении  уравнение (7.3) определяет некоторую плоскость, так как коэффициенты при x, y, z в (7.3) не обращаются в нуль одновременно. а) При   0 уравнение (7.3) определяет плоскость P , параллельную плоскости Oxy , P: z  3 / 2 , а при   2 оно определяет плоскость P , 2 параллельную плоскости Oyz , P: x  5/ 2 . Ни при каких значениях  плоскость P , определяемая уравнением (7.3), не параллельна плоскости Oxz , поскольку коэффициенты при x, z в (7.3) не обращаются в нуль одновременно. б) При   1 уравнение (7.3) определяет плоскость P , параллельную оси Oz , P: x  3y  2  0 . При остальных значениях параметра  оно не определяет плоскости, параллельной только одной из координатных осей. в) При   3 уравнение (7.3) определяет плоскость P , проходящую через начало координат, P: 3x  15 y  10 z  0 . ◄ Пример 7.3. Написать уравнение плоскости Р, проходящей через: а) точку M (1,  3, 2) параллельно плоскости ось Оху; б) ось Ох и точку M (2,  1, 3) .   а) За вектор нормали n к Р здесь можно взять вектор k (0, 0,1) – орт оси Oz, так как он перпендикулярен плоскости Оху. Подставим координаты точки  M (1,  3, 2) и вектора n в уравнение (7.2), получим уравнение плоскости P: z 3  0.   б) Вектор нормали n к Р ортогонален векторам i (1, 0, 0) и OM (2,  1, 3) ,  поэтому за n можно взять их векторное произведение:    i j k       n  i  OM  1 0 0   j 12 03  k 12 01   3 j  k . 2 1 3  Подставим координаты точки О и вектора n в уравнение (7.2), получим уравнение плоскости P:  3(y  0)  (z  0)  0 или P: 3 y  z  0 .◄ 3

В ближайших параграфах устанавливается, что поверх­ности первого порядка суть плоскости и только плоскости, и рассматриваются различные формы записи уравнений плос­костей.

198. Теорема 24. В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени.

Доказательство. Считая заданной некоторую де- картову прямоугольную систему координат, рассмотрим произвольную плоскость а и докажем, что эта плоскость определяется уравнением первой степени. Возьмем на плос­кости а какую-нибудь точку М 0 (д: 0; у 0; z0); выберем, кроме того, какой угодно вектор (только не равный нулю!), перпендикулярный к плоскости а. Выбранный вектор обозначим буквой п, его проекции на оси координат -бук­вами А, В , С.

Пусть М{х; у; г)-произвольная точка. Она лежит на плоскости а в том и только в том случае, когда вектор MqM перпендикулярен к вектору п. Иначе говоря, точка Ж, ле­жащая на плоскости а, характеризуется условием:

Мы получим уравнение плоскости а, если выразим это условие через координаты х, у, z. С этой целью запишем координаты векторов М 0М и й:

М 0М={х-х 0; у-у 0; z-z0}, П={А; В; С}.

Согласно п° 165 признаком перпендикулярности двух век­торов является равенство нулю их скалярного произведения, т. е. суммы попарных произведений соответственных коор­динат этих векторов. Таким образом, М 0М J_ п в том и только в том случае, когда

A(x-x0)+B(y-y0) + C(z-ze) = 0. (1)

Это и есть искомое уравнение плоскости а, так как ему удовлетворяют координаты лг, у, z точки М в том и только в том случае, когда М лежит на плоскости а (т. е. когда луй J_«).

Раскрывая скобки, представим уравнение (1) в виде

Ах +By + Cz + (- А х 0 - Ву 0-Cz0) = 0.

Ax-\-By + Cz + D = 0. (2)

Мы видим, что плоскость а действительно определяется уравнением первой степени. Теорема доказана.

199. Каждый (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к некоторой плоскости, называется нормальным к ней век­тором. Употребляя это название, мы можем сказать, что уравнение

A(x-X())+B(y~y0) + C(z-z0)=0

есть уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (х 0; у 0; z0) и имеющей нормальный вектор п - {А; В ; С}. Уравнение вида

Ах + Ву-\- Cz + D = 0

называется общим уравнением плоскости.

200. Теорема 25. В декартовых координатах каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Доказательство. Считая заданной какую-нибудь декартову прямоугольную систему координат, рассмотрим произвольное уравнение первой степени

Ax-\-By+Cz-\rD = 0. (2)

Когда, мы говорим «произвольное» уравнение, то подра­зумеваем при этом, что коэффициенты А, В, С, D могут быть какими угодно числами, но, конечно, исключая

случай одновременного равенства нулю всех трех коэффици­ентов А, В, С. Мы должны доказать, что уравнение (2) есть уравнение некоторой плоскости.

Пусть лг 0, у 0, г 0-какое-нибудь решение уравнения (2), т. е. тройка чисел, которая этому уравнению удовлетворяет*). Подставляя числа у 0, z0 вместо текущих координат в левую часть уравнения (2), мы получим арифметическое тождество

Ax0 + By0 + Cz0+D^O. (3)

Вычтем из уравнения (2) тождество (3). Мы получим урав­нение

A(x-xo)+B(y-yo) + C(z-zo) = 0, (1)

которое по предыдущему представляет собой уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (jc0; у 0; z0) и име­ющей нормальный вектор п - {А; В; С}. Но уравнение (2) равносильно уравнению (1), так как уравнение (1) получает­ся из уравнения (2) путем почленного вычитания тож­дества (3), а уравнение (2) в свою очередь получается из уравнения (1) путем почленного прибавления тождества (3). Следовательно, уравнение (2) является уравнением той же плоскости.

Мы доказали, что произвольное уравнение первой сте­пени определяет плоскость; тем самым теорема доказана.

201. Поверхности, кооторые в" декартовых координатах определяются уравнениями первой степени, называются, как мы знаем, поверхностями первого порядка. Употребляя эту терми­нологию, мы можем высказать установленные результаты так:

Каждая плоскость есть поверхность первого порядка; каждая поверхность первого порядка есть плоскость.

Пример. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку Afe(l; 1; 1) перпендикулярно к вектору я*={ 2; 2; 3}.

Реше н и е. Согласно п° 199 искомое уравнение есть

2(*- 1)+2 (у -1)+3(г -1)=0,

или

2х+2у+3г- 7 = 0.

*) Уравнение (2), как всякое уравнение первой степени с тремя неизвестными, имеет бесконечно много решений. Чтобы найти какое- нибудь из них, нужно двум неизвестным предписать численные зна­чения, а третью неизвестную тогда найти ив уравнения.

202. В заключение этого параграфа докажем следующее предложение: если два уравнения Ахх -j- В^у -]- Cxz Dt = 0 и А 2х + В^у -f- C2z -]- £)2 = 0 определяют одну и ту же плос­кость, то коэффициенты их пропорциональны.

В самом деле, в этом случае векторы пх = {Л 1; Вх\ и п 2 - {/42; В 2; Сг} перпендикулярны к одной плоскости, следовательно, коллинеарны друг другу. Но тогда согласно п° 154 числа Аъ В 2, С 2 пропорциональны числам А1г В1гСх; обозначив множитель пропорциональности через р, имеем: А 2-А 1ц, B2 = Bx\i, С 2 =.Cj\i. Пусть М 0 (х 0; у 0; ^-лю­бая точка плоскости; ее координаты должны удовлетворять каждому из данных уравнений, таким образом, Ахх 0 + Вху 0

Cxz0 = 0 и A2xQ В 2у 0 C2z0 + D2 = 0. Умножим первое из этих равенств на р. и вычтем из второго; полу­чим D2-Djp = 0. Следовательно, D%-Dx\i и

В^ Сг_ D2

Ах В, Сх-Б1 ^

Тем самым наше утверждение доказано.