Таблица первообразных ("интегралов"). Таблица интегралов. Табличные неопределенные интегралы. (Простейшие интегралы и интегралы с параметром). Формулы интегрирования по частям. Формула Ньютона-Лейбница.

Формулы интегрирования по частям. Правила интегрирования.

Таблица производных. Табличные производные. Производная произведения. Производная частного. Производная сложной функции.

Если x - независимая переменная, то:

Свойства логарифмов. Основные формулы логарифмов. Десятичные (lg) и натуральные логарифмы (ln).

Натуральный логарифм ln (логарифм по основанию е = 2,718281828459045…) ln(e)=1; ln(1)=0

Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.

Оказывается, большинство практически встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=1:

При использовании рядов, называемых рядами Тейлора, смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.

Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды:

1) , где f(x) - функция, имеющая при х=а производные всех порядков. R n - остаточный член в ряде Тейлора определяется выражением

2)

k-тый коэффициент (при х k) ряда определяется формулой

3) Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена (=Макларена) (разложение происходит вокруг точки а=0)

при a=0

члены ряда определяются по формуле

Условия применения рядов Тейлора.

1. Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале (-R;R) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора (Маклорена (=Макларена)) для данной функции стремился к нулю при k→∞ на указанном интервале (-R;R).

2. Необходимо чтобы существовали производные для данной функции в точке, в окрестности которой мы собираемся строить ряд Тейлора.

Свойства рядов Тейлора.

Если f есть аналитическая функция, то ее ряд Тейлора в любой точке а области определения f сходится к f в некоторой окрестности а.

Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности а. Например:

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации (приближение - научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми) функции многочленами. В частности, линеаризация ((от linearis - линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной.) уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Таким образом, практически любую функцию можно представить в виде полинома с заданной точностью.

Примеры некоторых распространенных разложений степенных функций в ряды Маклорена (=Макларена,Тейлора в окрестностях точки 0) и Тейлора в окрестностях точки 1. Первые члены разложений основных функций в ряды Тейлора и Макларена.

Примеры некоторых распространенных разложений степенных функций в ряды Маклорена(=Макларена, Тейлора в окрестностях точки 0)

Примеры некоторых распространенных разложений в ряды Тейлора в окрестностях точки 1

Первообразная и интеграл

1. Первообразная. Функция F(х) называется первообразной для функции f (х) на промежутке X, если для любого х из Х выполняется равенство F"(x)=f(x)

Т.7.13 (Если F(х)-первообразная для функции f(х) на промежутке X, то у функции f(x) бесконечно много первообразных, и все эти первообразные имеют вид F (x)+С, где С - произвольная постоянная (основное свойство первообразной).

2. Таблица первообразных. Учитывая, что отыскание первообразной есть операция, обратная дифференцированию, и отталкиваясь от таблицы производных, получаем следующую таблицу первообразных (для простоты в таблице приведена одна первообразная F(х), а не общий вид первообразных F(х) + С:

Первообразная и логарифмическая функция

Логарифмическая функция, функция, обратная к показательной функции. Л. ф. обозначается

её значение y, соответствующее значению аргумента х, называется натуральным логарифмом числа х. В силу определения соотношение (1) равносильно

(е - неперово число). Т. к. ey > 0 при любом действительном у, то Л. ф. определена только при х > 0. В более общем смысле Л. ф. называют функцию

первообразный степень интеграл логарифм

где а > 0 (а? 1) - произвольное основание логарифмов. Однако в математическом анализе особое значение имеет функция InX; функция logaX приводится к ней по формуле:

где М = 1/In а. Л. ф. - одна из основных элементарных функций; её график (рис. 1) носит название логарифмики. Основные свойства Л. ф. вытекают из соответствующих свойств показательной функции и логарифмов; например, Л. ф. удовлетворяет функциональному уравнению

Для - 1 < х, 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:

Многие интегралы выражаются через Л. ф.; например

Л. ф. постоянно встречается в математическом анализе и его приложениях.

Л. ф. была хорошо известна математикам 17 в. Впервые зависимость между переменными величинами, выражаемая Л. ф., рассматривалась Дж. Непером (1614). Он представил зависимость между числами и их логарифмами с помощью двух точек, движущихся по параллельным прямым (рис. 2). Одна из них (У) движется равномерно, исходя из С, а другая (X), начиная движение из А, перемещается со скоростью, пропорциональной её расстоянию до В. Если положить СУ = у, ХВ = х, то, согласно этому определению,

dx/dy = - kx, откуда.

Л. ф. на комплексной плоскости является многозначной (бесконечнозначной) функцией, определённой при всех значениях аргумента z ? 0 обозначается Lnz. Однозначная ветвь этой функции, определяемая как

Inz = In?z?+ i arg z,

где arg z - аргумент комплексного числа z, носит название главного значения Л. ф. Имеем

Lnz = lnz + 2kpi, k = 0, ±1, ±2, ...

Все значения Л. ф. для отрицательных: действительных z являются комплексными числами. Первая удовлетворительная теория Л. ф. в комплексной плоскости была дана Л. Эйлером (1749), который исходил из определения

Интегралы от логарифмов

Интегрирование по частям. Примеры решений

Решение.

К примеру.

Вычислить интеграл:

Применяя свойства интеграла (линœейность), ᴛ.ᴇ. , сводим ктабличному интегралу, получаем, что

И снова, здравствуйте. Сегодня на уроке мы научимся интегрировать по частям. Метод интегрирования по частям - ϶ᴛᴏ один из краеугольных камней интегрального расчёта. На зачете, экзамене студенту почти всœегда предлагают решить интегралы следующих типов: простейший интеграл (см. статью Неопределœенный интеграл. Примеры решений ) либо интеграл на замену переменной (см. статью Метод замены переменной в неопределœенном интеграле ) либо интеграл как раз на метод интегрирования по частям .

Как всœегда, под рукой должны быть: Таблица интегралов и Таблица производных . В случае если у Вас до сих пор их нет, то, пожалуйста͵ посœетите кладовку моего сайта: Математические формулы и таблицы . Не устану повторять – лучше всё распечатать. Весь материал я постараюсь изложить последовательно, просто и доступно, в интегрировании по частям нет особых трудностей.

Какую задачу решает метод интегрирования по частям? Метод интегрирования по частям решает очень важную задачу, он позволяет интегрировать некоторые функции, отсутствующие в таблице, произведение функций, а в ряде случаев – и частное. Как мы помним, нет удобной формулы: . Зато есть такая: – формула интегрирования по частям собственной персоной. Знаю, знаю, ты одна такая – с ней мы и будем работать весь урок (уже легче).

И сразу список в студию. По частям берутся интегралы следующих видов:

1) , – логарифм, логарифм, умноженный на какой-нибудь многочлен.

2) , – экспоненциальная функция, умноженная на какой-нибудь многочлен. Сюда же можно отнести интегралы вроде – показательная функция, умноженная на многочлен, но на практике процентах так в 97, под интегралом красуется симпатичная буква ʼʼеʼʼ. … что-то лирической получается статья, ах да… весна же пришла.

3) , – тригонометрические функции, умноженные на какой-нибудь многочлен.

4) , – обратные тригонометрические функции (ʼʼаркиʼʼ), ʼʼаркиʼʼ, умноженные на какой-нибудь многочлен.

Также по частям берутся некоторые дроби, соответствующие примеры мы тоже подробно рассмотрим.

Пример 1

Найти неопределœенный интеграл.

Классика. Время от времени данный интеграл можно встретить в таблицах, но пользоваться готовым ответом нежелательно, так как у преподавателя весенний авитаминоз и он сильно заругается. Потому что рассматриваемый интеграл отнюдь не табличный – он берётся по частям. Решаем:

Прерываем решение на промежуточные объяснения.

Используем формулу интегрирования по частям:

Интегралы от логарифмов - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Интегралы от логарифмов" 2017, 2018.