СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ - свойство кристаллов совмещаться с собой при поворотах, отражениях, параллельных переносах либо при части или комбинации этих операций. внеш. формы (огранки) кристалла определяется симметрией его атомного строения, к-рая обусловливает также и симметрию физ. свойств кристалла.

Рис. 1. а - кристалл кварца; 3 - ось симметрии 3-го порядка, - оси 2-го порядка; б - кристалл водного метасиликата натрия; m - плоскость симметрии .

На рис. 1а изображён кристалл кварца. Внеш. его форма такова, что поворотом на 120° вокруг оси 3 он может быть совмещён сам с собой (совместимое равенство). Кристалл метасиликата натрия (рис. 1, б )преобразуется в себя отражением в плоскости симметрии m (зеркальное равенство). Если - функция, описывающая объект, напр. форму кристалла в трёхмерном пространстве или к--л. его свойство, а операция осуществляет преобразование координат всех точек объекта, то g является операцией, или преобразованием симметрии, а F - симметричным объектом, если выполняются условия:

В наиб. общей формулировке симметрия - неизменность (инвариантность) объектов и законов при нек-рых преобразованиях описывающих их переменных. Кристаллы - объекты в трёхмерном пространстве, поэтому классич. теория С. к.- теория симметричных преобразований в себя трёхмерного пространства с учётом того, что внутр. атомная структура кристаллов дискретная, трёхмерно-периодическая. При преобразованиях симметрии пространство не деформируется, а преобразуется как жёсткое целое. Такие преобразования паз. ортогональными или изометрическим и. После преобразования симметрии части объекта, находившиеся в одном месте, совпадают с частями, находящимися в др. месте. Это означает, что в симметричном объекте есть равные части (совместимые или зеркальные).

С. к. проявляется не только в их структуре и свойствах в реальном трёхмерном пространстве, но также и при описании энергетич. спектра электронов кристалла (см. Зонная теория ),при анализе процессов дифракции рентгеновских лучей, дифракции нейтронов и дифракции электронов в кристаллах с использованием обратного пространства (см. Обратная решётка )и т. п.

Группы симметрии кристаллов. Кристаллу может быть присуща не одна, а неск. . Так, кристалл кварца (рис. 1, а )совмещается с собой не только при повороте на 120° вокруг оси 3 (операция gi) , но и при повороте вокруг оси 3 на 240° (операция g 2), & также при поворотах на 180° вокруг осей 2 Х, 2 у, 2 W (операции g 3 , g 4 , g 5 ). Каждой операции симметрии может быть сопоставлен элемент симметрии - прямая, плоскость или точка, относительно к-рой производится данная операция. Напр., ось 3 или оси 2 x , 2 у, 2 w являются осями симметрии, плоскость т (рис. 1,б) - плоскостью зеркальной симметрии и т. п. Совокупность операций симметрии {g 1 , g 2 , ..., g n } данного кристалла образует группу симметрии в смысле матем. теории групп . Последоват. проведение двух операций симметрии также является операцией симметрии. В теории групп это обозначают как произведение операций:. Всегда существует операция идентичности g 0 , ничего не изменяющая в кристалле, наз. отождествлением, она геометрически соответствует неподвижности объекта или повороту его на 360° вокруг любой оси. Число операций, образующих группу G, наз. порядком группы.

Группы симметрии преобразований пространства классифицируют: по числу п измерений пространства, в к-рых они определены; по числу т измерений пространства, в к-рых объект периодичен (их соответственно обозначают), и по нек-рым др. признакам. Для описания кристаллов используют различные группы симметрии, из к-рых важнейшими являются точечные группы симметрии, описывающие внеш. форму кристаллов; их наз. также кристаллографич. классами; пространственные группы симметрии, описывающие атомную структуру кристаллов.

Точечные группы симметрии . Операциями точечной симметрии являются: повороты вокруг оси симметрии порядка N на угол, равный 360°/N (рис. 2, а); отражение в плоскости симметрии т (зеркальное отражение, рис. 2, б); инверсия (симметрия относительно точки, рис. 2, в); инверсионные повороты (комбинация поворота на угол 360°/N с одноврем. инверсией, рис. 2, г). Вместо инверсионных поворотов иногда рассматриваются эквивалентные им зеркальные повороты Геометрически возможные сочетания операций точечной симметрии определяют ту или иную точечную группу симметрии, к-рая изображается обычно в стереографич. проекции. При преобразованиях точечной симметрии по крайней мере одна точка объекта остаётся неподвижной - преобразуется сама в себя. В ней пересекаются все элементы симметрии, и она является центром стереографич. проекции. Примеры кристаллов, относящихся к различным точечным группам, даны на рис. 3.

Рис. 2. Примеры операций симметрии: а - поворот; б - отражение; в - инверсия; г - инверсионный поворот 4-го порядка; д - винтовой поворот 4-го порядка; е - скользящее отражение .

Рис. 3. Примеры кристаллов, принадлежащих к разным точечным группам (кристаллографическим классам): а - к классу m (одна плоскость симметрии); б - к классу (центр симметрии или центр инверсии); а - к классу 2 (одна ось симметрии 2-го порядка); г - к классу (одна инверсионно-поворотная ось 6-го порядка) .

Точечные преобразования симметрии описываются линейными ур-ниями

или матрицей коэффициентов

Напр., при повороте вокруг оси х 1 на угол- =360°/N матрица D имеет вид:

а при отражении в плоскости х 1 х 2 D имеет вид:

Число точечных групп бесконечно. Однако в кристаллах ввиду наличия кристаллич. решётки возможны только операции и соответственно оси симметрии до 6-го порядка (кроме 5-го; в кристаллич. решётке не может быть оси симметрии 5-го порядка, т. к. с помощью пятиугольных фигур нельзя заполнить пространство без промежутков). Операции точечной симметрии и соответствующие им элементы симметрии обозначаются символами: оси 1, 2, 3, 4, 6, инверсионные оси(центр симметрии или центр инверсии), (она же - плоскость симметрии т), (рис. 4).

Рис. 4. Графические обозначения элементов точечной симметрии: а - кружок - центр симметрии, оси симметрии, перпендикулярные плоскости чертежа; б - ось 2, параллельная плоскости чертежа; в - оси симметрии, параллельные или косо расположенные к плоскости чертежа; г - плоскость симметрии, перпендикулярная плоскости чертежа; д - плоскости симметрии, параллельные плоскости чертежа .

Для описания точечной группы симметрии достаточно задать одну или неск. порождающих её операций симметрии, остальные её операции (если они есть) возникнут в результате взаимодействия порождающих. Напр., для кварца (рис. 1, а) порождающими операциями являются 3 и одна из операций 2, а всего операций в этой группе 6. В международные обозначения групп входят символы порождающих операций симметрии. Точечные группы объединяются по точечной симметрии формы элементарной ячейки (с периодами а, Ь, с и углами) в 7 сингоний (табл. 1).

Группы, содержащие кроме гл. оси N плоскости симметрии т , обозначаются как N/m , если или Nm , если ось лежит в плоскости т . Если группа помимо гл. оси имеет неск. проходящих через неё плоскостей симметрии, то она обозначается Nmm .

Табл. 1.-Точечные группы (классы) симметрии кристаллов

Группы, содержащие лишь повороты, описывают кристаллы, состоящие только из совместимо равных частей (группы 1-го рода). Группы, содержащие отражения или инверсионные повороты, описывают кристаллы, в К-рых есть зеркально равные части (группы 2-го рода). Кристаллы, описываемые группами 1-го рода, могут кристаллизоваться в двух энантиоморфных формах («правой» и «левой», каждая из к-рых не содержит элементов симметрии 2-го рода), но зеркально-равных друг другу (см. Энантиоморфизм ).

Группы С. к. несут в себе геом. смысл: каждой из операций соответствует, напр., поворот вокруг оси симметрии, отражение в плоскости. Нек-рые точечные группы в смысле теории групп, учитывающей лишь правила взаимодействия операций в данной группе (но не их геом. смысл), оказываются одинаковыми, или изоморфными друг другу. Таковы, напр., группы 4 и, тт2 , 222. Всего имеется 18 абстрактных групп, изоморфных одной или нескольким из 32 точечных групп С. к.

Предельные группы. Ф-ции, к-рые описывают зависимость различных свойств кристалла от направления, имеют определённую точечную симметрию, однозначно связанную с группой симметрии огра-нения кристалла. Она либо совпадает с ней, либо выше неё по симметрии (Неймана принцип ).

В отношении макроскопич. свойств кристалл может описываться как однородная непрерывная среда. Поэтому многие из свойств кристаллов, принадлежащих к тем или иным точечным группам симметрии, описываются т. н. предельными точечными группами, содержащими оси симметрии бесконечного порядка, обозначаемые символом. Наличие оси означает, что объект совмещается с собой при повороте на любой, в т. ч. бесконечно малый, угол. Таких групп 7 (рис. 5). Т. о., всего имеется 32 + 7 = 39 точечных групп, описывающих симметрию свойств кристаллов. Зная группу симметрии кристаллов, можно указать возможность наличия или отсутствия в нём нек-рых физ. свойств (см. Кристаллофизика ).

Рис. 5. Стереографические проекции 32 кристаллографических и 2 икосаэдрических групп. Группы расположены в колонки по семействам, символы которых даны в верхнем ряду. В нижнем ряду указана предельная группа каждого семейства и изображены фигуры, иллюстрирующие предельную группу .

Пространственные группы симметрии . Пространственная симметрия атомной структуры кристаллов описывается пространственными группами симметрии . Они наз. также фёдоровскими в честь нашедшего их в 1890 Е. С. Фёдорова; эти группы были независимо выведены в том же году А. Шёнфлисом (A. Schoenflies). В противоположность точечным группам, к-рые были получены как обобщение закономерностей форм кристаллич. многогранников (С. И. Гессель, 1830, А. В. Гадолин, 1867), пространственные группы явились продуктом математическо-геом. теории, предвосхитившей эксперим. определения структуры кристаллов с помощью дифракции рентг. лучей.

Характерными для атомной структуры кристаллов операциями являются 3 некомпланарные трансляции а, b, с, к-рые и задают трёхмерную периодичность кристаллич. решётки. Кристаллич. решётка рассматривается как бесконечная во всех трёх измерениях. Такое матем. приближение реально, т. к. число элементарных ячеек в наблюдаемых кристаллах очень велико. Перенос структуры на векторы а, Ь, с или любой вектор где p 1 , p 2 , р 3 - любые целые числа, совмещает структуру кристалла с собой и, следовательно, является операцией симметрии (трансляционная симметрия).

Физ. дискретность кристаллич. вещества выражается в его атомном строении. Пространственные группы - это группы преобразования в себя трёхмерного однородного дискретного пространства. Дискретность заключается в том, что не все точки такого пространства симметрически равны друг другу, напр. атом одного и атом др. сорта, ядро и электроны. Условия однородности и дискретности определяет тот факт, что пространственные группы - трёхмерно периодические, т. е. любая группа содержит подгруппу трансляций Т - кристаллич. решётку.

Вследствие возможности комбинирования в решётке трансляций и операций точечной симметрии в группах кроме операций точечной симметрии возникают операции и соответствующие им элементы симметрии с трансляц. компонентой - винтовые оси различных порядков и плоскости скользящего отражения (рис. 2, д, е) .

В соответствии с точечной симметрией формы элементарной ячейки (элементарного параллелепипеда) пространственные группы, как и точечные, подразделяются на 7 кристаллографических сингоний (табл. 2). Дальнейшее их подразделение соответствует трансляц. группам и соответствующим им Враве решёткам . Решёток Браве 14, из них 7 - примитивные решётки соответствующих сингоний, они обозначаются Р (кроме ромбоэдрической R) . Другие-7 центриров. решёток: базо (боко) - центрированные А (центрируется грань bc), В (грань ас), С (аb); объёмноцентрнрованные I, гранецентрированные (по всем 3 граням) F . С учётом центрировки к оперирации трансляций t добавляются соответствующие центру центрирующие переносы t c . Если комбинировать друг с другом эти операции t + t с и с операциями точечных групп соответствующей сингоний, то получаются 73 пространственные группы, наз. симморфными.

Табл. 2.-Пространственные группы симметрии

На основе определённых правил из симморфных пространственных групп можно извлечь нетривиальные подгруппы, что даёт ещё 157 несимморфных пространственных групп. Всего пространственных групп 230. Операции симметрии при преобразовании точки х в симметрично равную ей (а значит. и всего пространства в себя) записываются в виде: , где D - точечные преобразования, - компоненты винтового переноса или скользящего отражения, - операции трансляц. группы Браве. Операции винтовой симметрии и соответствующие им элементы симметрии - винтовые оси имеют угл. компоненту (N = 2, 3, 4, 6) и трансляционную t s = tq/N , где t - трансляция решётки, поворот на происходит одновременно с трансляцией вдоль оси Ж, q - индекс винтового поворота. Общий символ винтовых осей N q (рис. 6). Винтовые оси направлены вдоль гл. осей или диагоналей элементарной ячейки. Оси 3 1 и 3 2 , 4 1 и 4 3 , 6 1 и 6 5 , 6 2 и 6 4 соответствуют попарно правым и левым винтовым поворотам. Кроме операции зеркальной симметрии в пространственных группах возможны также плоскости скользящего отражения а, Ь, с: отражение сочетается с переносом на половину соответствующего периода решётки. Переносу на половину диагонали грани ячейки соответствует т. н. клиноплоскость скольжения n, кроме того, в тетрагональных и кубич. группах возможны «алмазные» плоскости d .

Рис. 6. а - Графические обозначения винтовых осей, перпендикулярных плоскости рис.; б - винтовая ось, лежащая в плоскости рис.; в - плоскости скользящего отражения, перпендикулярные плоскости рис., где а, b, с - периоды элементарной ячейки, вдоль осей которой происходит скольжение (трансляционная компонента а/2), п - диагональная плоскость скользящего отражения [трансляционная компонента (а + b)/2], d - алмазная плоскость скольжения ; г - то же в плоскости рисунка .

В табл. 2 даны интернациональные символы всех 230 пространственных групп в соответствии с их принадлежностью к одной из 7 сингоний и классу точечной симметрии.

Трансляц. компоненты операций микросимметрии пространственных групп макроскопически в точечных группах не проявляются; напр., винтовая ось в огранке кристаллов проявляется как соответствующая по порядку простая поворотная ось. Поэтому каждая из 230 группмакроскопически сходственна (гомоморфна) с одной из 32 точечных групп. Напр., на точечную группу- ттт гомоморфно отображаются 28 пространственных групп.

Обозначения Шёнфлиса пространственных групп - это обозначение соответственной точечной группы (напр., , табл. 1), к-рому сверху приписан принятый исторически порядковый номер, напр. . В международных обозначениях указывается символ решётки Браве и порождающие операции симметрии каждой группы - и т. д. Последовательность расположения пространственных групп в табл. 2 в международных обозначениях соответствует номеру (верхнему индексу) в обозначениях Шёнфлиса.

На рис. 7 дано изображение пространств. группы - Рпта согласно Интернациональным кристаллографич. таблицам. Операции (и соответствующие им элементы) симметрии каждой пространственной группы, указываемые для элементарной ячейки, действуют на всё кристаллич. пространство, всю атомную структуру кристалла и друг на друга.

Рис. 7. Изображение группы- Рпта в Интернациональных таблицах .

Если задать внутри элементарной ячейки к--н. точку х (x 1 x 2 x 3) , то операции симметрии преобразуют её в симметрично равные ей точки во всём кристаллич. пространстве; таких точек бесконечное множество. Но достаточно описать их положение в одной элементарной ячейке, и эта совокупность уже будет размножаться трансляциями решётки. Совокупность точек, выводимых из данной операциями g i группы G - х 1 , x 2 ,...,x n-1 , наз. правильной системой точек (ПСТ). На рис. 7 справа дано расположение элементов симметрии группы, слева - изображение ПСТ общего положения этой группы. Точки общего положения - это такие точки, к-рые не расположены на элементе точечной симметрии пространственной группы. Число (кратность) таких точек равно порядку группы. Точки, расположенные на элементе (или элементах) точечной симметрии, образуют ПСТ частного положения и обладают соответственной симметрией, количество их в целое число раз меньше кратности ПСТ общего положения. На рис. 7 слева кружками указаны точки общего положения, их внутри элементарной ячейки 8, символы «+» и «-», «1/2+» и «1/2-» означают соответственно координаты +z, -z, 1/2 + z, 1/2 - z. Запятые пли их отсутствие означают попарное зеркальное равенство соответствующих точек относительно плоскостей симметрии т, имеющихся в данной группе при у = 1/4 и 3/4. Если же точка попадает на плоскость т, то она этой плоскостью не удваивается, как в случае точек общего положения, и число (кратность) таких точек частного положения 4, их симметрия -m. То же имеет место при попадании точки в центры симметрии.

Для каждой пространственной группы имеются свои совокупности ПСТ. Правильная система точек общего положения для каждой группы одна. Но нек-рые из ПСТ частного положения могут оказаться одинаковыми для различных групп. В Интернациональных таблицах указаны кратность ПСТ, их симметрия и координаты и все др. характеристики каждой пространственной группы. Важность понятия ПСТ состоит в том, что в любой кристаллич. структуре, принадлежащей данной пространственной группе, атомы или центры молекул располагаются по ПСТ (одной или нескольким). При структурном анализе распределение атомов по одной или неск. ПСТ данной пространственной группы производится с учётом хим. ф-лы кристалла и данных дифракц. эксперимента, позволяет находить координаты точек частных или общих положений, в к-рых расположены атомы. Поскольку каждая ПСТ состоит из одной или кратного числа решёток Браве, то и расположение атомов можно представлять себе как совокупность «вдвинутых друг в друга» решёток Браво. Такое представление эквивалентно тому, что пространственная группа содержит в себе как подгруппу трансляц. группу Браве.

Подгруппы групп симметрии кристаллов . Если часть операции к--л. группы сама образует группу G r (g 1 ,...,g m), , то последняя наз. подгруппой первой. Напр., подгруппами точечной группы 32 (рис. 1, а) являются группа 3 и группа 2 . Также и среди пространств. групп существует иерархия подгрупп. Пространственные группы могут иметь в качестве подгрупп точечные группы (таких пространственных групп 217) и подгруппы, к-рые являются пространственными группами более низкого порядка. Соответственно существует иерархия подгрупп.

Большинство пространственных групп симметрии кристаллов различны между собой и как абстрактные группы; число абстрактных групп изоморфных 230 пространственным группам равно 219. Абстрактно равными оказываются 11 зеркально-равных (энантиоморфных) пространственных групп - одна лишь с правыми, другие с левыми винтовыми осями. Таковы, напр., P 3 1 21 и P 3 2 21. Обе эти пространственные группы гомоморфно отображаются на точечную группу 32, к к-рой принадлежит кварц, но кварц соответственно бывает правый и левый: симметрия пространственной структуры в этом случае выражается макроскопически, но точечная группа в обоих случаях та же.

Роль пространственных групп симметрии кристаллов . Пространственные группы симметрии кристаллов- основа теоретич. кристаллографии , дифракционных и иных методов определения атомной структуры кристаллов и описания кристаллич. структур.

Дифракционная картина, получаемая методом рентгенографии, нейтронографии или электронографии ,позволяет установить симметрийные и геом. характеристики обратной решётки кристалла, а следовательно и самой структуры кристалла. Так определяют точечную группу кристалла и элементарную ячейку; по характерным погасаниям (отсутствие определённых дифракционных рефлексов) определяют тип решётки Браве и принадлежность к той или иной пространственной группе. Размещение атомов в элементарной ячейке находят по совокупности интенсивностей дифракционных рефлексов.

Большую роль играют пространственные группы в кристаллохимии . Определено более 100 тыс. кристаллич. структур неорганич., органич. и биологич. соединений. Любой кристалл относится к одной из 230 пространственных групп. Оказалось, что почти все пространственные группы реализованы в мире кристаллов, хотя одни из них встречаются чаще, другие реже. Имеется статистика распространённости пространственных групп по различным видам хим. соединений. Пока не найдены среди исследованных структур лишь 4 группы: Рсс2, P4 2 cm, P4nc 1 , Р6тп . Теория, объясняющая распространённость тех пли иных пространственных групп, учитывает размеры составляющих структуру атомов, понятия плотной упаковки атомов или молекул, роль «упаковочных» элементов симметрии - плоскостей скольжения и винтовых осей.

В физике твёрдого тела используется теория представлений групп с помощью матриц и спец. ф-ций, для пространственных групп эти ф-ции периодичны. Так, в теории структурных фазовых переходов 2-го рода пространственная группа симметрии менее симметричной (низкотемпературной) фазы является подгруппой пространственной группы более симметричной фазы и фазовый переход связан с одним из неприводимых представлений пространственной группы высокосимметричной фазы. Теория представлений позволяет также решать задачи динамики кристаллической решётки , её электронной и магн. структур, ряда физ. свойств. В теоретич. кристаллографии пространственные группы позволяют развить теорию разбиения пространства на равные области, в частности полиэдрические.

Симметрия проекций, слоев и цепей . Проекции кристаллич. структур на плоскость описываются плоскими группами, их число - 17. Для описания трёхмерных объектов, периодических в 1 или 2 направлениях, в частности фрагментов структуры кристаллов, могут быть использованы группы - двумерно периодические и - одномерно периодические. Эти группы играют важную роль в изучении биологич. структур и молекул. Напр., группыописывают строение биологич. мембран, группы- цепных молекул (рис. 8, а) , палочкообразных вирусов, трубчатых кристаллов глобулярных белков (рис. 8, б) , в к-рых молекулы уложены согласно спиральной (винтовой) симметрии, возможной в группах (см. Биологический кристалл ).

Рис. 8. Объекты со спиральной симметрией: а - молекула ДНК; б - трубчатый кристалл белка фосфорилазы (электронно-микроскопический снимок, увеличение 220 000) .

Структура квазикристаллов . Квазикристалля (напр., А1 86 Мn 14) имеют икосаэдрич. точечную симметрию (рис. 5), к-рая невозможна в кристаллнч. решётке. Дальний порядок в квазикристаллах - квазипериодический, описываемый на основе теории почти периодич. ф-ций. Структура квазикристаллов может быть представлена как проекция на трёхмерное пространство шестимерной периодич. кубич. решётки с осями 5-го порядка. Квазикристаллы с пятимерной симметрией в высшем измерении могут иметь 3 типа решёток Браве (примитивную, объёмноцентрированную и гранецентрированную) и 11 пространственных групп. Др. возможные типы квазикристаллов - укладки в стопку двумерных сеток атомов с осями 5-, 7-, 8-, 10-, 12-го... порядков, с периодичностью вдоль третьего перпендикулярного сеткам направления.

Обобщённая симметрия . В основе определения симметрии лежит понятие равенства (1,б) при преобразовании (1,а). Однако физически (и математически) объект может быть равен себе по одним признакам и не равен по другим. Напр., распределение ядер и электронов в кристалле антиферромагнетика можно описать с помощью обычной пространственной симметрии, но если учесть распределение в нём магн. моментов (рис. 9), то «обычной», классич. симметрии уже недостаточно. К подобного рода обобщениям симметрии относятся а н т и с и м м е т р и я и цветная сниметрия.

Рис. 9. Распределение магнитных моментов (стрелки) в элементарной ячейке ферримагнитного кристалла, описываемое с помощью обобщённой симметрии .

В антисимметрии в дополнение к трём пространственным переменным х 1 , х 2 , х 3 вводится добавочная, 4-я переменная . Это можно истолковать таким образом, что при преобразовании (1,а) функция F может быть не только равна себе, как в (1,б), но и «антиравна» - изменит знак. Существует 58 групп точечной антисимметрии и 1651 пространственная группа антисимметрии(шубнпковские группы).

Если добавочная переменная приобретает не два значения, а больше (возможны 3,4,6,8, ..., 48) , то возникает т. н. цветная симметрия Белова.

Так, известна 81 точечная группа и 2942 группы . Осн. приложения обобщённой симметрии в кристаллографии - описание магн. структур.

Найдены и др. группы антисимметрии (кратной и др.). Теоретически выведены и все точечные и пространственные группы четырёхмерного пространства и более высоких измерений. На основе рассмотрения симметрии (3 + К)-мерного пространства можно также описывать несоразмерные в трёх направлениях модулиров. структуры (см. Несоразмерная структура ).

Др. обобщение симметрии - симметрия подобия, когда равенство частей фигуры заменяется их подобием (рис. 10), криволинейная симметрия, статистич. симметрия, вводимая при описании структуры разупорядоченных кристаллов, твёрдых растворов, жидких кристаллов и др.

Рис. 10. Фигура, обладающая симметрией подобия .

Лит.: Шубников А. В., К о п ц и к В. А., Симметрия в науке и искусстве, 2 изд., М., 1972; Федоров E.С., Симметрия и структура кристаллов, М., 1949; Шубников А. В., Симметрия и антисимметрия конечных фигур, М., 1951; International tables for X-ray crystallography, v. 1 - Symmetry groups, Birmingham, 1952; Ковалев О. В., Неприводимые представления пространственных групп, К., 1961; В е й л ь Г., Симметрия, пер. с англ., М., 1968; Современная кристаллография, т. 1 - Вайнштейн Б. К., Симметрия кристаллов. Методы структурной кристаллографии, М., 1979; Г а л и у л и н Р. В., Кристаллографическая геометрия, М., 1984; International tables for crystallography, v. A - Space group symmetry, Dordrecht - , 1987. Б . К. Вайнштейн .

Доказательством закона служит невозможность существование параллелограмматической системы, состоящей из элементарных ячеек, обладающих осями симметрии 5-го и выше 6-го порядков, поскольку нельзя заполнить все пространство без остатка правильными 5-ти и 7, 8, 9 … n - угольниками.Cуть основного закона симметрии кристаллов - в кристаллах невозможны оси 5-го и выше 6-го порядков.

Оси 1 и 2-го порядка называются осями низшего порядка, 3, 4 и 6-го - осями высшего порядков.

Оси симметрии могут проходить через центры граней, через середины ребер, через вершины. На рисунке приведены оси симметрии куба. (Приложение 4)

Три оси 4 порядка проходят через центры граней; четыре оси 3 порядка являются пространственными диагоналями куба: шесть осей 2 порядка соединяют попарно середины ребер. Всего в кубе имеется 13 осей симметрии.

К элементам симметрии II рода относятся: центр симметрии (центр инверсии), плоскость симметрии (зеркальная плоскость), а также сложные элементы симметрии - зеркально-поворотные и инверсионные и инверсионные оси. (Приложение 5).

Центр симметрии (С) - это точка внутри кристалла, по обе стороны от которой на равных расстояниях встречаются одинаковые точки кристалла. Симметричное преобразование, отвечающее центру симметрии, есть отражение в точке (зеркало - не плоскость, а точка). При таком отражении изображение поворачивается не только справа налево, но и с лица на изнанку (рисунок). Белым и синим цветом изображены, соответственно, «лицевая» и «изнаночная» стороны фигуры.

Очень часто центр симметрии совпадает с центром тяжести кристалла.

В кристаллическом многограннике можно найти разные сочетания элементов симметрии - у одних мало, у других много. По симметрии, прежде всего по осям симметрии, кристаллы делятся на три категории.

к низшей - гипс, слюда, медный купорос, сегнетовая соль и др. (Приложение 8)

Каждый кристаллический многогранник обладает определенным набором элементов симметрии. Полный набор всех элементов симметрии, присущих данному кристаллу называется классом симметрии. Сколько же всего таких наборов? Их количество ограничено. Математическим путем было доказано, что в кристаллах существует 32 вида симметрии.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИСНТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

"УТВЕРЖДАЮ"

Зав. кафедрой КФН

Горбацевич А.А.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10

по курсу «ФТТ и ПП»

Описание составила:

Анфалова Е.С

МОСКВА, 2002

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТРУКТУРЫ КРИСТАЛЛОВ С ПОМОЩЬЮ ДИФРАКЦИИ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ

Цель работы: определение структуры кристалла и постоянной решетки с помощью метода Дебая-Шерера.

1. Структура и симметрия кристаллов.

Кристаллы - это твердые тела, характеризующиеся периодическим расположением атомов в пространстве. Периодичность кристаллов означает существование в них дальнего порядка и отличает кристаллы от аморфных тел, в которых имеется только ближний порядок.

Периодичность - один из типов симметрии кристалла. Симметрия означает возможность преобразования объекта, совмещающего его с собой. Кристаллы также могут обладать симметрией по отношению к вращениям вокруг выделенных (периодически расположенных в пространстве) осей вращения и отражениям в плоскостях отражения. Пространственное преобразование, оставляющее кристалл инвариантным, то есть переводящее кристалл в себя, называется операцией симметрии. Вращения вокруг оси, отражения в плоскости, а также ин­версия относительно центра инверсии - точечные преобразования симметрии, поскольку они оставляют на месте хотя бы одну точку кристалла. Смещение (или трансляция) кристалла на период решетки - то же преобразование симметрии, но оно уже не относится к точечным преобразованиям. Точечные преобразования симметрии иначе еще называют собственными преобразованиями. Имеются также несобственные преобразования симметрии, представляющие собой комбинацию вращения или отражения и трансляцию на расстояние, кратное периоду решетки.

Кристаллы различного химического состава с точки зрения симметрии могут быть эквивалентными, то есть могут обладать одним и тем же набором операций симметрии. Это обстоятельство определяет возможность классификации кристаллов по типу их симметрии. Различным кристаллам можно поставить в соответствие одну и ту же решетку, обладающую заданной симметрией. Классификация кристаллов строится на основе решеток Бравэ. Решетку Бравэ можно определить как множество точек, координаты которых задаются концами радиус вектора r .

где a 1 , a 2 , a 3 - произвольная тройка некомпланарных (не лежащих в одной плоскости) векторов, n 1 , n 2 , n 3 - произвольные целые числа. Векторы a 1 , a 2 , a 3 называются векторами элементарных трансляций. Решетка переходит в себя при трансляции на любой вектор, удовлетворяющий соотношению (1). Необходимо отметить, что для данной решетки Бравэ выбор векторов элементарных трансляций неоднозначен. Из определения решетки Бравэ следует, что вектор элементарной трансляции а 1 представляет собой наименьший период решетки в заданном направлении. В качестве элементарных трансляций могут быть выбраны любые три некомпланарных минимальных периода решетки.

В каждой решетке Бравэ можно выделить минимальный объем пространства, который при всех трансляциях вида (1) заполняет все пространство, не перекрываясь с собой и не оставляя промежутков. Такой объем называется примитивной ячейкой. Если же мы выберем объем, заполняющий все пространство в результате не всех, а какого-то подмножества трансляций, то такой объем будет уже просто элементарной ячейкой. Таким образом, примитивная ячейка есть элементарная ячейка минимального объема. Из определения примитивной ячейки следует, что на нее приходится ровно один узел решетки Бравэ. Это обстоятельство может быть полезно для проверки того, представляет ли собой выбранный объем примитивную ячейку или нет.

Выбор примитивной ячейки, как и выбор векторов элементарных трансляций, неоднозначен. Простейшим примером примитивной ячейки может служить параллелепипед, простроенный на векторах элементарных трансляций.

Важную роль в физике твердого тела играет примитивная ячейка Вигнера-Зейтца, которую определяют, как часть пространства, расположенную к данной точке решетки Бравэ ближе, чем к другим точкам решетки. Для построения ячейки Вигнера-Зейтца следует провести плоскости, перпендикулярные отрезкам прямых, соединяющих точку решетки, выбранную в качестве центра, с другими точками. Плоскости должны проходить через середины этих отрезков. Многогранник, ограниченный построенными плоскостями, и будет ячейкой Вигнера-Зейтца. Существенно, что ячейка Вигнера-Зейтца обладает всеми элементами симметрии решетки Бравэ.

Кристалл (кристаллическую структуру) можно описать, если поставить ему в соответствие определенную решетку Бравэ и указать расположение атомов в элементарной ячейке. Совокупность этих атомов называется базисом. Базис может состоять из одного или нескольких атомов. Так, в кремнии в состав базиса входит два атома Si, в кристалле GaAs - базис также двухатомный и представлен одним атомов Ga и одним атомов As. В сложных органических соединениях базис может включать в себя несколько тысяч атомов. Взаимосвязь между понятиями решетка, базис, структура можно определить так:

решетка + базис = кристаллическая структура.

Требование периодичности трансляционной инвариантности накладывает существенные ограничения на возможные в кристалле точечные операции симметрии. Так, в идеально периодичном кристалле могут существовать оси симметрии только 2, 3, 4 и 6 порядков и запрещено существование оси 5 порядка.

Бравэ показал, что из плоскостей отражения, четырех типов осей вращения, инверсии и трансляций можно образовать 14 различных комбинаций. Этим 14 комбинациям соответствует 14 типов решеток. С математической точки зрения каждая такая комбинация представляет собой группу (группу симметрии). При этом, поскольку в группе присутствуют в качестве элементов симметрии трансляции, группа называется пространственной группой симметрии. Если трансляцию убрать, то оставшиеся элементы образуют точечную группу. Всего точечных групп симметрии решеток Бравэ 7. Решетки, относящиеся в данной точечной группе, образуют сингонию или систему. К кубической сингонии относятся простая кубическая (ПК), объемноцентрированная кубическая (ОЦК) и гранецентрированная кубическая решетки (ГЦК); к тетрагональной - простая тетрагональная и центрированная тетрагональная; к ромбической - простая, базоцентрированная, объемноцентрированная и гранецентрированная ромбические решетки; к моноклинной - простая и базоцентрированная моноклинные решетки. Оставшиеся три сингонии содержат по одному типу одноименных с ними решеток - триклинную, тригональную и гексагональную.

А. И. Сёмке ,
, МОУ СОШ № 11, Ейское УО, г. Ейск, Краснодарский кр.

Симметрия кристаллов

Цели урока: Образовательная – знакомство с симметрией кристаллов; закрепление знаний и умений по теме «Свойства кристаллов» Воспитательная – воспитание мировоззренческих понятий (причинно-следственные связи в окружающем мире, познаваемость окружающего мира и человечества); нравственное воспитание (воспитание любви к природе, чувства товарищеской взаимовыручки, этики групповой работы) Развивающая – развитие самостоятельности мышления, грамотной устной речи, навыков исследовательской, экспериментальной, поисковой и практической работы.

Симметрия… является той идеей, посредством
которой человек на протяжении веков пытался
постичь порядок, красоту и совершенство.
Герман Вейль

Физический словарик

• Кристалл – от греч. κρύσταλλος – буквально лёд, горный хрусталь.
• Симметрия кристаллов – закономерность атомного строения, внешней формы и физических свойств кристаллов, заключающаяся в том, что кристалл может быть совмещён с самим собой путём поворотов, отражений, параллельных переносов (трансляций) и других преобразований симметрии, а также комбинаций этих преобразований.

Вводный этап

Симметрия кристаллов – наиболее общая закономерность, связанная со строением и свойствами кристаллического вещества. Она является одним из обобщающих фундаментальных понятий физики и естествознания в целом . Согласно определению симметрии, данному Е.С. Фёдоровым, «симметрия есть свойство геометрических фигур повторять свои части, или, выражаясь точнее, свойство их в различных положениях приходить в совмещение с первоначальным положением». Таким образом, симметричным является такой объект, который может быть совмещён сам с собой определёнными преобразованиями: поворотами вокруг осей симметрии или отражениями в плоскостях симметрии. Такие преобразования принято называть симметрическими операциями . После преобразования симметрии части объекта, находившиеся в одном месте, совпадают с частями, находящимися в другом месте, что означает, что в симметричном объекте есть равные части (совместимые и зеркальные). Внутренняя атомная структура кристаллов – трёхмерно-периодическая, т. е. она описывается как кристаллическая решётка. Симметрия внешней формы (огранки) кристалла определяется симметрией его внутреннего атомного строения, которая обусловливает также и симметрию физических свойств кристалла.

Исследовательская работа 1. Описание кристаллов

Кристаллическая решётка может обладать различными видами симметрии. Под симметрией кристаллической решётки понимаются свойства решётки совпадать с самой собой при некоторых пространственных перемещениях. Если решётка совпадает сама с собой при повороте некоторой оси на угол 2π/n , то эта ось называется осью симметрии n -го порядка.

Кроме тривиальной оси 1-го порядка, возможны только оси 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков.

Для описания кристаллов используют различные группы симметрии, из которых важнейшими являются пространственные группы симметрии, описывающие структуру кристаллов на атомарном уровне, и точечные группы симметрии, описывающие их внешнюю форму. Последние называются также кристаллографическими классами . В обозначения точечных групп входят символы основных присущих им элементов симметрии. Эти группы объединяются по симметрии формы элементарной ячейки кристалла в семь кристаллографических сингоний – триклинную, моноклинную, ромбическую, тетрагональную, тригональную, гексагональную и кубическую. Принадлежность кристалла к той или иной группе симметрии и сингонии определяется измерениями углов или методом рентгеноструктурного анализа.

В порядке возрастающей симметрии кристаллографические системы располагаются следующим образом (обозначения осей и углов понятны из рисунка):

Триклинная система. Характерное свойство: a ≠ b ≠ c; α ≠ β ≠ γ. Элементарная ячейка имеет форму косоугольного параллелепипеда.

Моноклинная система. Характерное свойство: два угла прямые, третий отличен от прямого. Следовательно, a ≠ b ≠ c ; β = γ = 90°, α ≠ 90°. Элементарная ячейка имеет форму параллелепипеда с прямоугольником в основании.

Ромбическая система. Все углы прямые, все рёбра разные: a ≠ b ≠ c ; α = β = γ = 90°. Элементарная ячейка имеет форму прямоугольного параллелепипеда.

Тетрагональная система. Все углы прямые, два ребра одинаковые: a = b ≠ c ; α = β = γ = 90°. Элементарная ячейка имеет форму прямой призмы с квадратным основанием.

Ромбоэдрическая (тригональная) система. Все рёбра одинаковые, все углы одинаковые и отличны от прямого: a = b = c ; α = β = γ ≠ 90°. Элементарная ячейка имеет форму куба, деформированного сжатием или растяжением вдоль диагонали.

Гексагональная система. Рёбра и углы между ними удовлетворяют условиям: a = b ≠ c ; α = β = 90°; γ = 120°. Если составить вместе три элементарные ячейки, то получается правильная шестигранная призма. гексагональную упаковку имеют более 30 элементов (С в аллотропной модификации графита, Be, Cd, Ti и др.).

Кубическая система. Все рёбра одинаковые, все углы прямые: a = b = c ; α = β = γ = 90°. Элементарная ячейка имеет форму куба. В кубической системе различают три вида так называемых решёток Бравэ : примитивную (а ), объёмно-центрированную (б ) и гранецентрированную (в ).

Примером кубической системы являются кристаллы поваренной соли (NaCl, г ). Более крупные ионы хлора (светлые шарики) образуют плотную кубическую упаковку, в свободных узлах которой (в вершинах правильного октаэдра) расположены ионы натрия (чёрные шарики).

Ещё один пример кубической системы – решётка алмаза (д ). Она представляет собой две кубические гранецентрированные решётки Бравэ, сдвинутые на четверть длины пространственной диагонали куба. Такой решёткой обладают, например, химические элементы кремний, германий, а также аллотропная модификация олова – серое олово.

Экспериментальная работа «Наблюдение кристаллических тел»

Оборудование: лупа или короткофокусная линза в оправе, набор кристаллических тел.

Порядок выполнения

1. С помощью лупы рассмотрите кристаллики поваренной соли. Обратите внимание на то, что все они имеют форму кубиков. Одиночный кристалл называют монокристаллом (имеет макроскопически упорядоченную кристаллическую решётку). Основным свойством кристаллических тел является зависимость физических свойств кристалла от направления – анизотропия.
2. Рассмотрите кристаллики медного купороса, обратите внимание на наличие плоских граней у отдельных кристалликов, углы между гранями не равны 90°.
3. Рассмотрите кристаллики слюды в виде тонких пластинок. Торец одной из пластин слюды расщеплён на множество тонких листочков. Пластинку слюды трудно разорвать, но легко расщепить на более тонкие листочки по плоскостям (анизотропия прочности ).
4. Рассмотрите поликристаллические тела (излом куска железа, чугуна или цинка). Обратите внимание: на изломе можно различить мелкие кристаллики, из которых и состоит кусок металла. Большинство встречающихся в природе и получаемых в технике твёрдых тел представляют собой совокупность сросшихся друг с другом хаотически ориентированных маленьких кристалликов. В отличие от монокристаллов поликристаллы изотропны, т. е. их свойства одинаковы по всем направлениям.

Исследовательская работа 2. Симметрия кристаллов (кристаллические решётки)

Кристаллы могут иметь форму различных призм, основанием которых служат правильный треугольник, квадрат, параллелограмм и шестиугольник. В основе классификации кристаллов и объяснения их физических свойств может лежать не только форма элементарной ячейки, но и другие виды симметрии, например, поворот вокруг оси. Осью симметрии называют прямую, при повороте вокруг которой на 360° кристалл (его решётка) несколько раз совмещается сам с собой. Число этих совмещений называют порядком оси симметрии . Существуют кристаллические решётки, обладающие осями симметрии 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядка. Возможна симметрия кристаллической решётки относительно плоскости симметрии, а также комбинации разных видов симметрии.

Русский учёный Е.С. Фёдоров установил, что 230 различных пространственных групп охватывают все возможные кристаллические структуры, встречающиеся в природе. Евграф Степанович Фёдоров (22 декабря 1853 г. – 21 мая 1919 г.) – русский кристаллограф, минералог, математик. Крупнейшее достижение Е.С. Фёдорова – строгий вывод всех возможных пространственных групп в 1890 г. Тем самым Фёдоров описал симметрии всего разнообразия кристаллических структур. В то же время он фактически решил известную с древности задачу о возможных симметричных фигурах. Кроме того, Евграф Степанович создал универсальный прибор для кристаллографических измерений – столик Фёдорова .

Экспериментальная работа «Демонстрация кристаллических решёток»

Оборудование: модели кристаллических решёток хлористого натрия, графита, алмаза.

Порядок выполнения

1. Соберите модель кристалла хлористого натрия (приводится рисунок ). Обращаем внимание на то, что шарики одного цвета имитируют ионы натрия, а другого – ионы хлора. Каждый ион в кристалле совершает тепловое колебательное движение около узла кристаллической решётки. Если соединить эти узлы прямыми линиями, то образуется кристаллическая решётка. Каждый ион натрия окружён шестью ионами хлора, и наоборот, каждый ион хлора – шестью ионами натрия.
2. Выберите направление вдоль одного из рёбер решётки. Обратите внимание: белые и чёрные шарики – ионы натрия и хлора – чередуются.
3. Выберите направление вдоль второго ребра: белые и чёрные шарики – ионы натрия и хлора – чередуются.
4. Выберите направление вдоль третьего ребра: белые и чёрные шарики – ионы натрия и хлора – чередуются.
5. Проведите мысленно прямую линию по диагонали куба, – на ней окажутся только белые или только чёрные шарики, т. е. ионы одного элемента. Это наблюдение может служить основанием для объяснения явления анизотропии, свойственном кристаллическим телам.
6. Размеры ионов в решётке неодинаковы: радиус иона натрия приблизительно в 2 раза больше радиуса иона хлора. В результате этого в кристалле поваренной соли ионы расположены так, что положение решётки устойчивое, т. е. имеется минимум потенциальной энергии.
7. Соберите модель кристаллической решётки алмаза и графита. Различие в упаковке атомов углерода в решётках графита и алмаза определяет существенные различия их физических свойств. Такие вещества называют аллотропными.
8. Сделайте вывод по результатам наблюдения и зарисуйте схематично виды кристаллов.

1. Альмандин. 2. Исландский шпат. 3. Апатит. 4. Лёд. 5. Поваренная соль. 6. Ставролит (двойник). 7. Кальцит (двойник). 8. Золото.

Исследовательская работа 3. Получение кристаллов

Кристаллы ряда элементов и многих химических веществ обладают замечательными механическими, электрическими, магнитными, оптическими свойствами. Развитие науки и техники привело к тому, что многие редко встречающиеся в природе кристаллы стали очень нужны для изготовления деталей приборов, машин, для выполнения научных исследований. Возникла задача разработки технологии изготовления монокристаллов многих элементов и химических соединений. Как известно, алмаз – это кристалл углерода, рубин и сапфир – кристаллы оксида алюминия с различными примесями.

Наиболее распространёнными способами выращивания монокристаллов является кристаллизация из расплава и кристаллизация из раствора. Кристаллы из раствора выращивают при медленном испарении растворителя из насыщенного раствора или при медленном понижении температуры раствора.

Экспериментальная работа «Выращивание кристаллов»

Оборудование: насыщенные растворы поваренной соли, двухромокислого аммония, гидрохинона, хлористый аммоний, предметное стекло, стеклянная палочка, лупа или линза в оправе.

Порядок выполнения

1. Возьмите стеклянной палочкой небольшую каплю насыщенного раствора поваренной соли и перенесите на предметное предварительно нагретое стекло (растворы готовятся заранее и хранятся в небольших колбочках или пробирках, закрытых пробками ).
2. Вода с тёплого стекла сравнительно быстро испаряется, и из раствора начинают выпадать кристаллы. Возьмите лупу и наблюдайте за процессом кристаллизации.
3. Наиболее эффективно проходит опыт с двухромокислым аммонием. На краях, а затем по всей поверхности капли появляются золотисто-оранжевые ветви с тонкими иглами, образующие причудливый рисунок.
4. Хорошо можно видеть неодинаковые скорости роста кристаллов в различных направлениях – анизотропию роста – у гидрохинона.
5. Сделайте вывод по результатам наблюдения и зарисуйте схематично виды полученных кристаллов.

Исследовательская работа 4. Применение кристаллов

Кристаллы обладают замечательным свойством анизотропии (механическими, электрическими, оптическими и т. д.). Современные производства невозможно представить без использования кристаллов.

Кристалл		Пример применения
	Разведка и добыча полезных ископаемых	Буровые инструменты
	Ювелирная промышленность	Украшения
	Контрольно-измерительные приборы	Морские хронометры – особо точные приборы
	Обрабатывающая промышленность	Алмазные подшипники
	Приборостроение	Опорные камни для часов
	Химическая промышленность	Фильеры для протяжки волокна
	Научные исследования	Рубиновый лазер
	Ювелирная промышленность	Украшения
Германий, кремний	Электронная промышленность	Полупроводниковые схемы и устройства
Флюорит, турмалин, исландский шпат	Опто-электронная промышленность	Оптические приборы
Кварц, слюда	Электронная промышленность	Электронные приборы (конденсаторы и т. д.)
Сапфир, аметист	Ювелирная промышленность	Украшения
	Обрабатывающая промышленность	Графитовая смазка
	Машиностроение	Графитовая смазка

Интересная информация

Кто и когда открыл жидкие кристаллы? Где используются ЖК?

В конце XIX в. германский физик О. Леман и австрийский ботаник Ф. Рейнитцер обратили внимание на то, что некоторые аморфные и жидкие вещества отличаются весьма упорядоченной параллельной укладкой удлинённых по форме молекул . Позже по степени структурной упорядоченности их назвали жидкими кристаллами (ЖК). Различают смектические кристаллы (с послойной укладкой молекул), нематические (с хаотически параллельно смещёнными удлинёнными молекулами) и холестерические (по структуре близкие к нематическим, но отличающиеся большей подвижностью молекул). Было замечено, что при внешнем воздействии, например, малого по величине электрического напряжения, при изменении температуры, напряжённости магнитного поля меняется оптическая прозрачность молекулы ЖК. Выяснилось, что происходит это за счёт переориентации осей молекул в направлении, перпендикулярном исходному состоянию.

Жидкие кристаллы: а ) смектические; б ) нематические; в ) холестерические.
URL: http://www.superscreen.ru

Принцип работы ЖК-индикатора:
слева – электрическое поле выключено, свет проходит через стёкла; справа – поле включено, свет не проходит, видны чёрные символы (URL тот же)

Очередная волна научного интереса к жидким кристаллам поднялась в послевоенные годы. В числе исследователей-кристаллографов веское слово сказал наш соотечественник И.Г. Чистяков. В конце 60-х гг. прошлого века американская корпорация RСA начала проводить первые серьёзные исследования по использованию нематических ЖК для визуального отображения информации. Однако опередила всех японская компания Sharp , которая в 1973 г. предложила жидкокристаллическую буквенно-цифровую мозаичную панель – ЖК-дисплей (LCD – Liquid Crystal Display ). Это были скромные по размерам монохромные индикаторы, где полисегментные электроды использовались в основном для нумерации чисел. Начавшаяся «индикаторная революция» привела практически к полной замене стрелочных механизмов (в электроизмерительных приборах, наручных и стационарных часах, бытовой и промышленной радиоаппаратуре) на средства визуального отображения информации в цифре – более точные, с безошибочным отсчётом.

Жидкокристаллические дисплеи разного типа. URL: http://www.permvelikaya.ru ; http://www.gio.gov.tw ; http://www.radiokot.ru

Благодаря успехам микроэлектроники карманные и настольные калькуляторы заменили арифмометры, счёты, логарифмические линейки. Лавинообразное снижение себестоимости интегральных микросхем привело даже к явлениям, явно противоречащим техническим тенденциям. Например, современные цифровые наручные часы заметно дешевле пружинно-стрелочных, которые, по инерции мышления, сохраняют популярность, перейдя в категорию «престижных».

От каких параметров зависит форма снежинок? Какая наука и для каких целей занимается изучением снега, льда, снежинок?

Первый альбом с зарисовками разных снежинок, сделанных с помощью микроскопа, появился ещё в начале ХIХ в. в Японии . Его создал учёный Дои Тишицура. Почти сто лет спустя другой японский учёный, Укисиро Накайя, создал классификацию снежинок. Его исследования доказали, что привычные нам ветвистые снежинки шестиконечной формы возникают только при определённой температуре: 14–17 °С. При этом влажность воздуха должна быть очень высокой. В остальных случаях снежинки могут приобретать самые различные формы.

Самая распространённая форма снежинок – дендриты (от греч. δέντρο – дерево ). Лучи этих кристаллов похожи на ветви деревьев.

Миром снега и льда занимается наука гляциология . Она возникла в ХVII в. после того, как швейцарский естествоиспытатель О. Соссюр опубликовал книгу об альпийских ледниках. Гляциология существует на стыке множества других наук, в первую очередь физики, геологии и гидрологии. Изучать лёд и снег нужно для того, чтобы знать, как предотвратить снежные лавины и гололёд. Ведь на борьбу с их последствиями во всём мире ежегодно тратятся миллионы долларов. Но если знать природу снега и льда, можно сэкономить немало денег и спасти множество человеческих жизней. А ещё лёд может рассказать об истории Земли. Например, в 70-е гг. гляциологи изучали ледяной покров Антарктиды, бурили скважины и исследовали особенности льда в разных слоях. Благодаря этому удалось узнать о множестве изменений климата, которые происходили на нашей планете на протяжении 400 000 лет.

Занимательные и нестандартные задачи (групповая работа)

На берегу Северного пролива, на северо-востоке острова Ирландия поднимаются невысокие горы Антрим. Они сложены черными базальтами – следами деятельности древних вулканов, высившихся вдоль гигантского разлома, отделившего 60 млн лет назад Ирландию от Великобритании. Потоки чёрных лав, излившихся из этих кратеров, образовали прибрежные горы на ирландском побережье и на Гебридских островах по ту сторону Северного пролива. Удивительная порода этот базальт! Жидкий, легко текучий в расплавленном виде (по склонам вулканов базальтовые потоки несутся порой со скоростью до 50 км/ч), он при остывании и затвердевании трескается, образуя правильные шестигранные призмы. Издали базальтовые обрывы напоминают огромные органы с сотнями чёрных труб. А когда поток лавы стекает в воду, возникают иной раз такие причудливые образования, что трудно не поверить в их волшебное происхождение. Именно такое природное явление можно наблюдать у подножья Антрима. От вулканического массива отделяется здесь своеобразная «дорога в никуда». Дамба возвышается над морем на 6 м и состоит примерно из 40 000 базальтовых колонн. Она похожа на недостроенный мост через пролив, задуманный каким-то сказочным великаном, и носит название «Мостовая Гигантов».

Задача. О каких свойствах кристаллических тел и жидкостей идёт речь? Какие отличия между кристаллическими твёрдыми телами и жидкостями вы знаете? (Ответ. Правильная геометрическая форма является существенным внешним признаком любого кристалла в природных условиях.)

Первый алмаз в Южной Африке нашёл в 1869 г. мальчик-пастух. Через год здесь был основан город Кимберли, по названию которого коренная алмазоносная порода стала называться кимберлитом. Содержание алмазов в кимберлитах очень низкое – не более 0,000 007 3%, что эквивалентно 0,2 г (1 карату) на каждые 3 т кимберлитов. Ныне одна из достопримечательностей Кимберли – огромный котлован глубиной 400 м, вырытый добытчиками алмазов.

Задача. Где применяются ценные свойства алмазов?

«Такая снеговинка (речь идёт о снежинке. – А. С. ), шестигранная, правильная звёздочка, упала Нержину на рукав старой фронтовой порыжевшей шинели».

А.И. Солженицын. В круге первом.

? Почему снежинки имеют правильную форму? (Ответ. Основное свойство кристаллов – симметрия.)

«Окно брякнуло с шумом; стёкла, звеня, вылетели вон, и страшная свиная рожа выставилась, поводя очами, как будто спрашивая: «А что вы тут делаете, добрые люди?»

Н.В. Гоголь.

? Почему стекло разбивается даже при небольшой нагрузке? (Ответ. Стекло относят к хрупким телам, у которых практически отсутствует пластическая деформация, так что упругая деформация непосредственно завершается разрушением.)

«Морозило сильнее, чем с утра; но зато так было тихо, что скрып мороза под сапогами слышался за полверсты».

Н.В. Гоголь. Вечера на хуторе близ Диканьки.

? Почему в мороз снег скрипит под ногами? (Ответ. Снежинки – кристаллики, под ногами они разрушаются, вследствие этого и появляется звук.)

Алмаз алмазом режется.

? Алмаз и графит состоят из одинаковых атомов углерода. Почему же отличаются свойства алмаза и графита? (Ответ. Эти вещества различаются кристаллическим строением. У алмаза прочные ковалентные связи, у графита – слоистая структура.)

? Какие вещества вы знаете, которые не уступают алмазу по прочности? (Ответ. Одним из таких веществ является нитрид бора. Очень прочной ковалентной связью связываются атомы бора и азота в кристаллической решётке нитрида бора. Нитрид бора по твёрдости не уступает алмазу, по прочности и термостойкости превосходит его.)

Туп конец, востёр резец: режет листки, летят куски. Что это? (Ответ. Алмаз.)

? Какое свойство отличает алмаз от других веществ? (Ответ. Твёрдость.)

Самые большие кристаллы были обнаружены в пещере Найка, в мексиканском штате Чиуауа. Некоторые из них в длину достигают 13 м, а в ширину 1 м.

А.Е. Ферсман в начале XX в. описал каменоломню на Южном Урале, заложенную в одном гигантском кристалле полевого шпата.

Заключение

В заключение урока хочу привести уникальный пример использования симметрии. Медоносные пчёлы должны уметь считать и экономить. Чтобы выделить особыми железами всего 60 г воска, им надо съесть 1 кг мёда из нектара и пыльцы, а на постройку средних размеров гнезда требуется около 7 кг сладкой пищи. Ячейки сотов в принципе могут быть квадратными, но пчёлы выбирают шестигранную форму: она обеспечивает самую плотную упаковку личинок, так что на постройку стенок уходит минимум драгоценного воска. Соты вертикальные, ячейки на них расположены с обеих сторон, т. е. дно у них общее – ещё экономия. Они направлены вверх под углом 13°, чтобы не вытекал мёд. В таких сотах помещается несколько килограммов меда. Вот настоящие чудеса природы.

Литература

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Едиториал УРСС, 2003.
2. Вейль Г. Симметрия: пер с англ. М., 1968.
3. Гляциологический словарь / Под ред. В.М. Котлякова. Л.: Гидрометеоиздат, 1984.
4. Компанеец А.С. Симметрия в микро- и макромире. М.: Наука, 1978.
5. Меркулов Д. Магия жидких кристаллов // Наука и жизнь. 2004. № 12.
6. Фёдоров Е.С. Симметрия и структура кристаллов. М., 1949.
7. Физика: энц. для детей. М.: Аванта+, 2000.
8. Шубников А.В., Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. Изд-е 2. М., 1972.

Все разнообразие кристаллов сводится к следующим семи основным кристаллографическим системам, или сингониям.

Сингония - сходноугольность (сходство углов).

Первая система: - Кубическая

Узлы кристаллической решетки создают куб, у которого параметры решетки одинаковы a=b=c , а углы a=b=g=90⁰

Рисунок 14. Кубическая ячейка.

В этой решетке кристаллизуются все кристаллы n-ых проводников (Si, Ge, GaAs, Cu), щелочно-галлоидные кристаллы (LiF, NaCl, KCl).

Кристаллы с кубической решеткой относятся к высшей категории симметрии. В этих кристаллах анизотропия свойств в различных направлениях выражена слабо. Многие физические свойства в этих кристаллах изотропны: теплопроводимость, электропроводимость,

показатель преломления одинаковых во всех направлениях.

Внешняя форма этих кристаллов, как правило, изометрична, т.е. развита примерно одинакова по всем направлениям. Кристаллы имеют форму куба (6-граней), октаэдра (8-граней). В этих кристаллах анизотропия таких свойств, как упругость и электрооптический эффект развиты гораздо слабее, чем у кристаллов других категорий.

Кристаллографические категории, сингонии и системы координат.

Плоскости симметрии, оси симметрии и центры симметрии образуются в кристаллах в разных сочетаниях. Например: у кристаллов с кубической решеткой (у полупроводников и щелочно-галлоидных кристаллов) один и тот же набор элементов симметрии: плоскостей симметрии m (P) - 9, 3 оси четвертого порядка 4(L 4), 4 оси третьего порядка 3(L 3), 6 осей второго порядка 2(L 2) и один центр симметрии (С), единичных направлений нет.

Категории симметрии : их три высшая, средняя и низшая. Это деление на категории происходит по симметрии и числу единичных направлений кристалла. Симметрия куба или октаэдра характерна для кристаллов высшей категории. (См. Кубическую решетку)

Тетрагональная – главная ось симметрии 4 или ; a=b≠c, a=b=g=90°

Форма элементарной ячейки-призма с квадратным основанием.

Рисунок 15. Тетрагональная ячейка.

К тетрагональной системе относятся кристаллы KDP и ADP (искусственные)

(дигидрофосфат калия и дигидрофосфат амония), селаита MgF 2 .

Тригональная – главная ось симметрии 3 или ; a=b≠c , a=b=90°, g=120°

Рисунок 16. Тригональная ячейка.

Форма элементарной ячейки-призма с ромбическим основании с углом 120°

К тригональной системе относятся кристаллы кальцитаCaCO 3 (природные и искусственные), кварца (a-SiO 2), ниобата и танталата лития(LiNbO 3 и LiTaO 3).

Гексагональная - главная ось симметрии 6 или

a=b≠c , a=b=90°, g=120°

Рисунок 17. гексагональная ячейка.

Форма элементарной ячейки – призма с ромбическим основанием с углами 120°. Три такие призмы составляют шестигранную призму, уже не примитивную, гексагональную ячейку. К гексагональной системе относятся кристаллы кварца (b-кварц).

Ромбическая – три оси 2 и три плоскости m симметрии a≠b≠c, a=b=g=90°

Рисунок 18. Ромбическая ячейка.

К ромбической системе относится кристаллическая сера.

Моноклинная – ось 2 или плоскость m симметрии, a≠b≠c, a=b=g=90°