Нечеткие выводы. Нечеткая логика — математические основы Формирование базы правил нечеткого вывода

Говоря о нечеткой логике, чаще всего имеют в виду системы нечеткого вывода, которые широко используются для управления техническими устройствами и процессами. Разработка и применение систем нечетко вывода включает в себя ряд этапов, реализация которых выполняется с помощью рассмотренных ранее основных положений нечеткой логики.

Основные этапы формирования нечеткого вывода:

Формирование базы правил систем нечеткого вывода.

Фаззификация входных переменных.

Агрегирование подусловий в нечетких правилах продукций.

Активизация или композиция подзаключений в нечетких правилах продукций.

Аккумулирование заключений нечетких правил продукций.

Ниже рассмотрим основные особенности каждого из этих этапов.

1.2.1 Формирование базы правил нечеткого вывода

База правил системы нечеткого вывода предназначена для формального представления эмпирических знаний или знаний экспертов в той или иной проблемной области. В системах нечеткого вывода используются правила нечетких продукций, в которых условия и заключения сформулированы в терминах нечетких лингвистических высказываний рассмотренных выше видов. Совокупность таких правил будем далее называть базами правил нечетких продукций.

База правил нечетких продукций представляет собой конечное множество правил нечетких продукций, согласованных относительно используемых в них лингвистических переменных. Наиболее часто база правил представляется в форме структурированной текста:

ПРАВИЛО_1: ЕСЛИ "Условие_1", ТО "Заключение_1"

ПРАВИЛО_2: ЕСЛИ "Условие_2", ТО "Заключение_2" (1.2)

ПРАВИЛО_N: ЕСЛИ "Условие_N", ТО "Заключение_N"

Согласованность правил относительно используемых лингвистических переменных означает, что в качестве условий и заключений правил могут использоваться только нечеткие лингвистические высказывания представленные в пункте 1.1.2, при этом в каждом из нечетких высказываний должны быть определены функции принадлежности значений терм-множества для каждой из лингвистических переменных.

В системах нечеткого вывода лингвистические переменные, которые используются в нечетких высказываниях подусловий правил нечетких продукций, часто называют входными лингвистическими переменными, а переменные, которые используются в нечетких высказываниях подзаключений правил нечетких продукций, часто называют выходными лингвистическими переменными.

1.2.2. Фаззификация

В контексте нечеткой логики под фаззификацией понимается не только отдельный этап выполнения нечеткого вывода, но и собственно процесс или процедура нахождения значений функций принадлежности нечетких множеств (термов) на основе обычных исходных данных. Фаззификацию еще называют введением нечеткости.

Целью этапа фаззификации является установление соответствия между конкретным значением отдельной входной переменной системы нечеткого вывода и значением функции принадлежности соответствующего ей терма входной лингвистической переменной.

П р и м е р 1.1 Для иллюстрации выполнения этого этапа рассмотрим пример процесса фаззификации трех нечетких высказываний: "скорость автомобиля малая", "скорость автомобиля средняя", "скорость автомобиля высокая" для входной лингвистической переменной β1 - скорость движения автомобиля. Им соответствуют нечеткие высказывания первого вида: " β1есть α1 ", " β2есть α2 ", " β3есть α3 ". Предположим, что текущая скорость автомобиля 55 км/ч. Тогда фаззификация первого нечеткого высказывания и третьего дает в результате число 0, второго 0.67.

Рисунок 1.1 - Пример фаззификации входной лингвистической переменной "скорость автомобиля" для трех нечетких высказываний.

Основой для проведения операции нечеткого логического вывода является база правил, содержащая нечеткие высказывания в форме «если - то» и функции принадлежности для соответствующих лингвистических термов. При этом должны соблюдаться следующие условия:

• 1) существует хотя бы одно правило для каждого лингвистического терма выходной переменной;
• 2) для любого терма входной переменной имеется хотя бы одно правило, в котором этот терм используется в качестве предпосылки (левая часть правила).

В противном случае имеет место неполная база нечетких правил.

Результатом нечеткого вывода является четкое значение переменной у* на основе заданных четких значений x k , k = 1,..., п.

В общем случае механизм логического вывода включает четыре этапа : введение нечеткости (фазификация), нечеткий вывод, композиция и приведение к четкости, или дефазификация (рис. 6.19).

Рис. 6.19.

Алгоритмы нечеткого вывода различаются главным образом видом используемых правил, логических операций и разновидностью метода дефазификации. Разработаны модели нечеткого вывода Мамдани, Сугено, Ларсена, Цукамото .

База правил имеет следующий вид:

Рис. 6.23.

Рис. 6.24.

Рис. 6.25.

Открытие клапана

• Круглое В. В., Дли М. И. Интеллектуальные информационные системы: компьютернаяподдержка систем нечеткой логики и нечеткого вывода. М.: Физматлит, 2002.
• Прикладные нечеткие системы: пер. с япон. / К. Асам [и др.) ; под ред. Т. Тэрано. М. :Мир, 1993.

Понятие нечеткого вывода занимает важнейшее место в нечеткой логике Алгоритм Mamdani, Алгоритм Tsukamoto, Алгоритм Sugeno, Алгоритм Larsen, Упрощенный алгоритм нечеткого вывода, Методы приведения к четкости.

Используемый в различного рода экспертных и управляющих системах механизм нечетких выводов в своей основе имеет базу знаний, формируемую специалистами предметной области в виде совокупности нечетких предикатных правил вида:

П1: если х есть A 1 , тогда у есть B 1 ,

П2: если х есть А 2 , тогда у есть В 2 ,

·················································

П n : если х есть А n , тогда у есть В n , где х — входная переменная (имя для известных значений дан-ных), у — переменная вывода (имя для значения данных, которое будет вычислено); А и В — функции принадлежности, определен-ные соответственно на x и у .

Пример подобного правила

Если х — низко, то у — высоко.

Приведем более детальное пояснение. Знание эксперта А → В отражает нечеткое причинное отношение предпосылки и заключе-ния, поэтому его можно назвать нечетким отношением и обозна-чить через R :

R = А → В,

где «→» называют нечеткой импликацией.

Отношение R можно рассматривать как нечеткое подмножество прямого произведения Х×У полного множества предпосылок X и заключений Y . Таким образом, процесс получения (нечеткого) результата вывода В" с использованием данного наблюдения А" и знания А → В можно представить в виде формулы

В" = А" ᵒ R = А" ᵒ (А → В),

где «о» — введенная выше операция свертки.

Как операцию композиции, так и операцию импликации в ал-гебре нечетких множеств можно реализовывать по-разному (при этом, естественно, будет разниться и итоговый получаемый ре-зультат), но в любом случае общий логический вывод осуществля-ется за следующие четыре этапа.

1. Нечеткость (введение нечеткости, фазификация, fuzzifica-tion). Функции принадлежности, определенные на входных пере-менных применяются к их фактическим значениям для определе-ния степени истинности каждой предпосылки каждого правила.

2. Логический вывод. Вычисленное значение истинности для предпосылок каждого правила применяется к заключениям каж-дого правила. Это приводит к одному нечеткому подмножеству, которое будет назначено каждой переменной вывода для каждого правила. В качестве правил логического вывода обычно исполь-зуются только операции min(МИНИМУМ) или prod(УМНОЖЕ-НИЕ). В логическом выводе МИНИМУМА функция принадлежно-сти вывода «отсекается» по высоте, соответствующей вычислен-ной степени истинности предпосылки правила (нечеткая логика «И»). В логическом выводе УМНОЖЕНИЯ функция принадлеж-ности вывода масштабируется при помощи вычисленной степени истинности предпосылки правила.

3. Композиция. Все нечеткие подмножества, назначенные к каждой переменной вывода (во всех правилах), объединяются вме-сте, чтобы формировать одно нечеткое подмножество для каждой переменной вывода. При подобном объединении обычно использу-ются операции max(МАКСИМУМ) или sum(СУММА). При ком-позиции МАКСИМУМА комбинированный вывод нечеткого под-множества конструируется как поточечный максимум по всем не-четким подмножествам (нечеткая логика «ИЛИ»). При композиции СУММЫ комбинированный вывод нечеткого подмножества кон-струируется как поточечная сумма по всем нечетким подмноже-ствам, назначенным переменной вывода правилами логического вывода.

4. В заключение (дополнительно) — приведение к четкости (дефазификация, defuzzification), которое используется, когда по-лезно преобразовать нечеткий набор выводов в четкое число. Име-ется большое количество методов приведения к четкости, некото-рые из которых рассмотрены ниже.

Пример .Пусть некоторая система описывается следующими нечет-кими правилами:

П1: если х есть А, тогда ω есть D,

П2: если у есть В, тогда ω есть Е,

П3: если z есть С, тогда ω есть F, где х, у и z — имена входных переменных, ω — имя переменной вывода, а А, В, С, D, Е, F— заданные функции принадлежности (треугольной формы).

Процедура получения логического вывода иллюстрируется рис. 1.9.

Предполагается, что входные переменные приняли некоторые кон-кретные (четкие) значения — х о, y о и z о.

В соответствии с приведенными этапами, на этапе 1 для данных зна-чений и исходя из функций принадлежности А, В, С, находятся степени истинности α (х о ), α (у о )и α (z o )для предпосылок каждого из трех при-веденных правил (см. рис. 1.9).

На этапе 2 происходит «отсекание» функций принадлежности за-ключений правил (т.е. D, Е, F) на уровнях α (х о ), α (у о ) и α (z o ).

На этапе 3 рассматриваются усеченные на втором этапе функции при-надлежности и производится их объединение с использованием операции max, в результате чего получается комбинированное нечеткое подмноже-ство, описываемое функцией принадлежности μ ∑ (ω) и соответствующее логическому выводу для выходной переменной ω .

Наконец, на 4-м этапе — при необходимости — находится четкое значение выходной переменной, например, с применением центроидного метода: четкое значение выходной переменной определяется как центр тяжести для кривой μ ∑ (ω), т.е.

Рассмотрим следующие наиболее часто используемые модифи-кации алгоритма нечеткого вывода, полагая, для простоты, что базу знаний организуют два нечетких правила вида:

П1: если х есть A 1 и у есть B 1 , тогда z есть C 1 ,

П2: если х есть А 2 и у есть В 2 , тогда z есть С 2 , где x и у — имена входных переменных, z — имя переменной вы-вода, A 1 , А 2 , B 1 , В 2 , C 1 , С 2 — некоторые заданные функции при-надлежности, при этом четкое значение z 0 необходимо определить на основе приведенной информации и четких значений x 0 и у 0 .

Рис. 1.9. Иллюстрация к процедуре логического вывода

Алгоритм Mamdani

Данный алгоритм соответствует рассмотренному примеру и рис. 1.9. В рассматриваемой ситуации он математически может быть описан следующим образом.

1. Нечеткость: находятся степени истинности для предпосылок каждого правила: А 1 (x 0), А 2 (x 0), B 1 (y 0), В 2 (y 0).

2. Нечеткий вывод: находятся уровни «отсечения» для пред-посылок каждого из правил (с использованием операции МИНИМУМ)

α 1 = A 1 (x 0) ˄ B 1 (y 0)

α 2 = A 2 (x 0) ˄ B 2 (y 0)

где через «˄» обозначена операция логического минимума (min), затем находятся «усеченные» функции принадлежности

3. Композиция: с использование операции МАКСИМУМ (max, далее обозначаемой как «˅») производится объединение найден-ных усеченных функций, что приводит к получению итогового не-четкого подмножества для переменной выхода с функцией принад-лежности

4. Наконец, приведение к четкости (для нахождения z 0 ) прово-дится, например, центроидным методом.

Алгоритм Tsukamoto

Исходные посылки — как у пре-дыдущего алгоритма, но в данном случае предполагается, что функ-ции C 1 (z ), С 2 (z ) являются монотонными.

1. Первый этап — такой же, как в алгоритме Mamdani.

2. На втором этапе сначала находятся (как в алгоритме Mam-dani) уровни «отсечения» α 1 и α 2 , а затем — посредством решения уравнений

α 1 = C 1 (z 1), α 2 = C 2 (z 2)

— четкие значения (z 1 и z 2 )для каждого из исходных правил.

3. Определяется четкое значение переменной вывода (как взве-шенное среднее z 1 и z 2 ):

в общем случае (дискретный вариант центроидного метода)

Пример. Пусть имеем A 1 (x 0) = 0,7, A 2 (x 0) = 0,6, B 1 (y 0) = 0,3, В 2 (y 0) = 0,8, соответствующие уровни отсечения

a 1 = min (A 1 (x 0), B 1 (y 0)) = min(0,7; 0,3) = 0,3,

a 2 = min (А 2 (x 0), В 2 (y 0)) = min (0,6; 0,8) = 0,6

и значения z 1 = 8 и z 2 = 4, найденные в результате решения уравнений

C 1 (z 1) = 0,3 , C 2 (z 2) = 0,6.

Рис. 1.10. Иллюстрации к алгоритму Tsukamoto

При этом четкое значение переменной вывода (см. рис. 1.10)

z 0 = (8·0,3 + 4·0,6) / (0,3 + 0,6) = 6.

Алгоритм Sugeno

Sugeno и Takagi использовали набор правил в следующей форме (как и раньше, приводим пример двух правил):

П 1: если х есть A 1 и у есть B 1 , тогда z 1 = а 1 х + b 1 у,

П 2: если х есть A 2 и у есть В 2 , тогда z 2 = a 2 x + b 2 y .

Представление алгоритма

2. На втором этапе находятся α 1 = A 1 (x 0) ˄ B 1 (y 0), α 2 = А 2 (x 0) ˄ В 2 (у 0) и индивидуальные выходы правил:

З. На третьем этапе определяется четкое значение переменной вывода:

Иллюстрирует алгоритм рис. 1.11.

Рис. 1.11. Иллюстрация к алгоритму Sugeno

Алгоритм Larsen

В алгоритме Larsen нечеткая импли-кация моделируется с использованием оператора умножения.

Описание алгоритма

1. Первый этап — как в алгоритме Mamdani.

2. На втором этапе, как в алгоритме Mamdani вначале нахо-дятся значения

α 1 = A 1 (x 0) ˄ B 1 (y 0),

α 2 = А 2 (x 0) ˄ В 2 (y 0),

а затем — частные нечеткие подмножества

α 1 C 1 (z ), a 2 C 2 (z ).

3. Находится итоговое нечеткое подмножество с функцией при-надлежности

μ s (z )= С (z )= (a 1 C 1 (z )) ˅ (a 2 C 2 (z ))

(в общем случае n правил).

4. При необходимости производится приведение к четкости (как в ранее рассмотренных алгоритмах).

Алгоритм Larsen иллюстрируется рис. 1.12.

Рис. 1.12. Иллюстрация алгоритма Larsen

Упрощенный алгоритм нечеткого вывода

Исходные пра-вила в данном случае задаются в виде:

П 1: если х есть A 1 и у есть B 1 , тогда z 1 = c 1 ,

П 2: если х есть А 2 и у есть В 2 , тогда z 2 = с 2 , где c 1 и с 2 — некоторые обычные (четкие) числа.

Описание алгоритма

1. Первый этап — как в алгоритме Mamdani.

2. На втором этапе находятся числа α 1 = A 1 (x 0) ˄ B 1 (y 0), α 2 = A 2 (x 0) ˄ B 2 (y 0).

3. На третьем этапе находится четкое значение выходной пе-ременной по формуле

или — в общем случае наличия n правил — по формуле

Иллюстрация алгоритма приведена на рис. 1.13.

Рис. 1.13. Иллюстрация упрощенного алгоритма нечеткого вывода

Методы приведения к четкости

1. Выше уже был рассмотрен один из данных методов — троидный. Приведем соответствующие формулы еще раз.

Для непрерывного варианта:

для дискретного варианта:

2. Первый максимум (First-of-Maxima). Четкая величина пере-менной вывода находится как наименьшее значение, при котором достигается максимум итогового нечеткого множества, т.е. (см. рис. 1.14а)

Рис. 1.14. Иллюстрация к методам приведения к четкости: α — первый максимум; б — средний максимум

3. Средний максимум (Middle-of-Maxima). Четкое значение находится по формуле

где G — подмножество элементов, максимизирующих С (см. рис. 1.14 б).

Дискретный вариант (если С — дискретно):

4. Критерий максимума (Max-Criterion). Четкое значение вы-бирается произвольно среди множества элементов, доставляющих максимум С, т. е.

5. Высотная дефазификация (Heightdefuzzification). Элементы области определения Ω для которых значения функции принад-лежности меньше, чем некоторый уровень α в расчет не принима-ются, и четкое значение рассчитывается по формуле

где Сα — нечеткое множество α -уровня (см. выше).

Нисходящие нечеткие выводы

Рассмотренные до сих пор нечеткие выводы представляют собой восходящие выводы от предпосылок к заключению. В последние годы в диагностических нечетких системах начинают применяться нисходящие выводы. Рассмотрим механизм подобного вывода на примере.

Возьмем упрощенную модель диагностики неисправности ав-томобиля с именами переменных:

х 1 — неисправность аккумулятора;

x 2 — отработка машинного масла;

y 1 — затруднения при запуске;

y 2 — ухудшение цвета выхлопных газов;

y 3 — недостаток мощности.

Между x i и y j существуют нечеткие причинные отношения r ij = x i → y j , которые можно представить в виде некоторой ма-трицы R с элементами r ij ϵ . Конкретные входы (предпо-сылки) и выходы (заключения) можно рассматривать как нечет-кие множества А и В на пространствах X и Y . Отношения этих множеств можно обозначить как

В = А ᵒ R ,

где, как и раньше, знак «о» обозначает правило композиции не-четких выводов.

В данном случае направление выводов является обратным к направлению выводов для правил, т.е. в случае диагностики име-ется (задана) матрица R (знания эксперта), наблюдаются выходы В (или симптомы) и определяются входы А (или факторы).

Пусть знания эксперта-автомеханика имеют вид

а в результате осмотра автомобиля его состояние можно оценить как

В = 0,9/y 1 + 0,1/у 2 + 0,2/у 3 .

Требуется определить причину такого состояния:

А = a 1 /x 1 + a 2 /x 2 .

Отношение введенных нечетких множеств можно представить в виде

либо, транспонируя, в виде нечетких векторов-столбцов:

При использовании (max-mix)-композиции последнее соотно-шение преобразуется к виду

0,9 = (0,9 ˄ α 1) ˅ (0,6 ˄ α 2),

0,1 = (0,1 ˄ α 1) ˅ (0,5 ˄ α 2),

0,2 = (0,2 ˄ α 1) ˅ (0,5 ˄ α 2).

При решении данной системы заметим прежде всего, что в первом уравнении второй член правой части не влияет на правую часть, поэтому

0,9 = 0,9 ˄ α 1 , α 1 ≥ 0,9.

Из второго уравнения получим:

0,1 ≥ 0,5 ˄ α 2 , α 2 ≤ 0,1.

Полученное решение удовлетворяет третьему уравнению, та-ким образом имеем:

0,9 ≤ α 1 ≤ 1,0, 0 ≤ α 2 ≤ 0,1,

т.е. лучше заменить аккумулятор (α 1 — параметр неисправности аккумулятора, α 2 — параметр отработки машинного масла).

На практике в задачах, подобных рассмотренной, количество переменных может быть существенным, могут одновременно ис-пользоваться различные композиции нечетких выводов, сама схема выводов может быть многокаскадной. Общих методов решения по-добных задач в настоящее время, по-видимому, не существует.

1

1 «Юргинский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский политехнический университет»

Определена актуальность процесса выбора поставщика для машиностроительного предприятия. Дана краткая характеристика этапов оценки и выбора поставщика. Проведен анализ методов и подходов к решению данной задачи. Выявлены взаимосвязи между учетом определенных критериев и эффективностью работы с поставщиком. На основе разработанной авторами нечеткой модели создана компьютерная программа «Информационная система выбора поставщика». Программа позволяет определить значение показателей поставщика для оценки его деятельности, проследить динамику каждого показателя. С учетом совокупности значимых критериев поставщики ранжируются по степени приоритетности, что позволяет лицу, принимающему решение, выбрать наиболее приемлемый вариант. Рассмотрена практическая реализация на примере машиностроительного предприятия.

информационная система.

нечеткий логический вывод

логистика

цепь поставки

поставщик

1. Афонин А.М. Промышленная логистика: учебное пособие / А.М. Афонин, Ю.Н. Царегородцев, А.М. Петрова. – М. : ФОРУМ, 2012. – 304 с. – (Профессиональное образование).

2. Бауэрсокс Дональд Дж., Клосс Дэвид Дж. Логистика: интегрированная цепь поставок. – М. : Олимп-Бизнес, 2001. – 640 с.

3. Гаджинский А.М. Логистика: учебник для высших и средних учебных заведений. – 3-е изд., перераб. и доп. – М. : ИВЦ «Маркетинг», 2000. – 375 с.

4. Еленич А.А. Формирование стратегии повышения конкурентоспособности промышленных предприятий: автореф. дис. … канд. экон. н. // Экономическая библиотека [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://economy-lib.com/ (дата обращения: 05.05.2013).

5. Еремина Е.А. Нечеткая модель выбора поставщика // Молодой ученый. - 2011. - № 11. - Т. 1. - С. 120-122 [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.moluch.ru/archive/34/3890/ (дата обращения: 05.05.2013).

6. Канке А.А. Логистика: учебное пособие / А.А. Канке, И.П. Кошевая. – М. : КНОРУС, 2011. – 320 с. – (Для бакалавров).

8. Логистика: учеб. пособие / М.А. Чернышев и [др.]; под общ ред. М.А. Чернышева. – Ростов н/Д: Феникс, 2009. – 459 с. – (Высшее образование).

9. Модели и методы теории логистики: учебное пособие. - 2-е изд. / под. ред. В.С. Лукинского. – СПб. : Питер, 2008. – 448 с. – (Серия «Учебное пособие»).

10. Определение потребности в материалах [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://coolreferat.com/. (дата обращения: 05.05.2013).

11. Сергеев В.И. Менеджмент в бизнес-логистике. – М. : Филинъ, 1997. – 772 с.

12. СТО ИСМ О.4-01-2012 Интегрированная система менеджмента. Управление закупками.

13. Транспортная логистика: учебное пособие / под общ. ред. Л.Б. Миротина. – М. : Экзамен, 2002. – 512 с.

Введение

Выбор поставщика для предприятия-производителя - процесс, с которого начинается движение материального потока к потребителю. Выбор и работа с поставщиками для торгового предприятия - основа деятельности. Как правило, надежные связи с поставщиками нарабатываются годами. В условиях конкуренции и стремительного развития рынка часто возникает необходимость в быстром и правильном определении поставщика, работа с которым в конечном итоге принесла бы наибольший доход.

Поставщик материалов в цепях поставок является важным связующим звеном, т.к. от характеристик предлагаемого им товара во многом зависит конечный результат деятельности предприятия-производителя и степень удовлетворенности им конечного потребителя. Поэтому, перед менеджером предприятия-производителя стоит задача выбора такого поставщика, условия взаимодействия с которым в наибольшей степени соответствовали бы требованиям предприятия-производителя в настоящее время и обеспечивали стабильность этих условий в долгосрочной перспективе. Для большей эффективности поставок необходимо длительное взаимодействие между представителями компании-покупателя и компании-поставщика. Признавая это, производители концентрируют свое внимание на ограничении количества поставщиков и оптимизации деятельности небольшого количества основных поставщиков, это позволит снизить издержки, которые несет поставщик, цену, которую платит покупатель, и повысить качество продукции.

В процессе изучения управления закупками и деятельности отдела материально-технического снабжения (МТС) по выбору и работе с поставщиками, на примере машиностроительного предприятия, выявлена проблема длительного и не всегда эффективного отбора поставщиков, рутинная обработка значительных объемов информации из-за отсутствия соответствующего программного инструментария. Поиск необходимого поставщика и оформление заказа занимает в среднем три месяца, временами и более длительный срок, до 10 месяцев и больше. Документы - анкета поставщика, рейтинг поставщиков и др. представляют собой отдельные на каждого поставщика и продукцию файлы, собранные в папки по годам. На их основе сложно провести анализ, проследить эффективность работы с поставщиком в динамике. Существующие SRM-решения позволяют решать значительную часть задач управления закупками, выбора поставщика. Но, как правило, они имеют высокую стоимость, и создаются в виде модулей ERP-системы, разработанной под конкретную сферу деятельности, поэтому доступной только ограниченному числу организаций. Оценка поставщиков в таких системах проводится по узкому набору критериев. Поэтому, на наш взгляд, существует необходимость в таком программном инструментарии, который позволяет сопровождать процессы управления закупками, частично или полностью с наибольшей эффективностью.

Авторами рассмотрен вариант создания системы, позволяющей учитывать одновременно ряд важных критериев продукции, предлагаемой поставщиком, а также деятельности предприятия-поставщика. Использование подобной информационной системы для отдела снабжения, а именно для логиста или менеджера по закупкам, позволит сократить время на выбор поставщика, оценить целесообразность взаимодействия с ним в долгосрочной перспективе.

1. Общие положения о выборе поставщика

Укрупненно при выборе поставщика можно обозначить следующие основные этапы.

1. Поиск потенциальных поставщиков. Методы поиска и критерии предварительного отбора избираются в зависимости от внутренних и внешних условий деятельности предприятия. В результате формируется список поставщиков, который постоянно обновляется и дополняется.

2. Анализ поставщиков. Составленный перечень потенциальных поставщиков анализируется на основании специальных критериев, позволяющих осуществить отбор наиболее соответствующих требованиям. Количество критериев отбора может составлять несколько десятков и может изменяться. В результате анализа поставщиков формируется перечень тех, с которыми проводится работа по заключению договоров.

3. Оценка результатов работы с поставщиками. Для оценки разрабатывается специальная шкала, позволяющая рассчитывать рейтинг поставщика. Особого подхода заслуживает именно оценка и анализ поставщиков. Как показывает практика, системе установленных критериев может соответствовать несколько поставщиков. Окончательный выбор поставщика производится лицом, принимающим решение в отделе закупок, и, как правило, не может быть полностью формализован .

2. Методы и модели оценки и анализа поставщика

Обзор работ по данной теме позволяет выделить два основных подхода к оценке и анализу поставщиков: аналитический - с использованием формул и ряда параметров, характеризующих поставщика); экспертный - основан на экспертных оценках параметров и получаемых на их основе рейтингах поставщиков . В рамках данных подходов применяются такие методы, как субъективный анализ поставщиков, начисление баллов за различные стороны деятельности, метод расстановки приоритетов, метод категории приемлемости (предпочтений), метод оценки затрат, метод доминирующих характеристик и др. . Основой отбора являются среднеотраслевые показатели, показатели любого конкурирующего предприятия, показатели предприятия-лидера, показатели предприятия-эталона, показатели предприятия стратегической группы, ретроспективные показатели оцениваемого предприятия. Учитывая достоинства и недостатки указанных выше методов, для оценки и выбора поставщика предложена модель на основе метода нечеткого логического вывода , которая позволяет учесть и качественные, и количественные показатели; оценить целесообразность работы с поставщиком при наличии информации о его деятельности, конкурентном положении, продукции. В соответствии с данной моделью процесс выбора поставщика включает следующие этапы: определение критериев оценки поставщика экспертом; вычисление значений функций принадлежности; определение уровня удовлетворительности альтернатив; выбор наилучшей альтернативы. С целью упрощения процесса выбора поставщика на основе предложенной модели разработана информационная система.

3. Информационная система выбора поставщика

«Информационная система выбора поставщика на основе нечеткого логического вывода» предназначена для сотрудников отдела материально-технического снабжения производственного предприятия, для логистов, менеджеров по закупкам, менеджеров по продажам в качестве инструмента поддержки принятия решения.

Информационная система выбора поставщика создана в среде разработки приложений Borland C++ Builder v.6 в сочетании с СУБД Access.

Разработанная информационная система состоит из следующих основных модулей: продукция поставщика (предназначена для оценки критериев, связанных с оценкой продукции поставщика), поставщики (предназначена для оценки деятельности поставщиков), критерии (необходимы для определения значений критериев оценки продукции и деятельности поставщиков).

Работа в программе начинается с ввода (импорта или дополнения) данных номенклатурно-планового задания, сведений о поставщиках, их продукции. Кроме того, в качестве входной условно-постоянной информацией являются сведения о поставщиках, отображенные в наборе критериев, представленных в таблице 1, назначается экспертами. Входная, выходная информация, функции системы представлены на рис. 1. Главное окно на рис. 2. Главное окно содержит вкладки для работы с данными о поставщиках, их продукции, критериях их оценки, продукционными правилами нечеткого логического вывода и отчетами. Каждая вкладка содержит команды и, в свою очередь, также содержит свои подвкладки. Вкладка «Правила» предназначена для работы с правилами нечеткого логического вывода. Таким образом, реализована возможность задавать отдельные правила для поставщиков и для списков закупаемой продукции. Результатом работы информационной системы является ранжированный список наиболее предпочтительных поставщиков. С помощью специального отчета можно проследить динамику рейтинга поставщика за период. Отчеты «Значения критериев поставщиков», «Рейтинг поставщиков», «Отчет о динамике критерия», «Рейтинг продукции поставщиков» формируются на основании расчетов и условно-постоянной информации (рис. 2, 3).

Таблица 1 - Интервалы значений критериев оценки

Критерий	Значение	Интервал значений
	невысокая
	приемлемая
	очень высокая
Гибкость политики
Условия платежа	невыгодные
	менее приемлемые
	приемлемые
	наиболее приемлемые
Качество продукции
	удовлетворительное
Наличие свободных производственных мощностей
	возможно наращивание
Уровень надежности	низкий, менее
	удовлетворительный
	приемлемый
Деловая активность предприятия
	ниже среднего уровня
	выше среднего уровня
Скорость поставки
	удовлетворительная
	приемлемая

Рисунок 1 - Информация и функции «Информационной системы выбора поставщика на основе метода нечеткого логического вывода»

Рисунок 2 - Вкладки «Поставщики» и «Номенклатура продукции»

Во вкладке «Критерии» определяется перечень критериев, эксперт вносит их значения. Значения критериев вводятся в базу данных с помощью команды «Задать значения критерия». Каждому критерию соответствует лингвистическая переменная, термы которой можно задать с помощью команды «Определить термы критерия» (рис. 3). Окно содержит комманды: «Новый» - для добавления нового терма в лингвистическую переменную, «Редактировать» - для редактирования выбранного терма, «Удалить» - для удаления выбранного терма и «Задать элементы» - для вызова окна «Элементы», в котором можно определить элементы выбранного терма и функции их принадлежности.

Рисунок 3 - Окно «Термы критерия "Уровень надежности"», отчет «Рейтинг поставщиков»

Термы лингвистической переменной критерия рассчитываются автоматически после нажатия кнопки «Определить термы критерия». При необходимости можно задавать новые термы и их функции принадлежности. Аналогичным образом заполняются данные о критериях продукции на подвкладке «Критерии продукции». Для формирования термов результирующей лингвистической переменной нужно перейти на подвкладку «Результирующая переменная». Продукционные правила нечеткого логического вывода задаются на вкладке «Правила». Отчет «Рейтинг поставщиков» формируется на основе данных из отчетов: «Рейтинг продукции поставщиков», «Значения критериев поставщиков» и др. (рис. 4).

Рисунок 4 - Отчеты «Информационной системы выбора поставщиков»

Информационная система позволяет выбрать наиболее приемлемый вариант взаимодействия предприятия и поставщиков в процессе закупки, ранжировать поставщиков по степени приоритетности. Особенностью системы является то, что в основе ее работы лежит метод нечеткого логического вывода, позволяющий решать слабоформализуемые задачи, что позволяет учитывать не только количественные критерии, но и критерии, выражаемые качественно. Поэтому возможно ее применение в качестве инструмента поддержки принятия решения.

В целом использование соответствующего инструментария выбора поставщиков обеспечивает предприятию: четкое определение качества поставок применительно к единице продукции в контракте; исключение или сведение к минимуму количества конфликтных ситуаций, связанных с качеством продукции и схемой доставки; информационный обмен относительно качества поставок; оптимизацию затрат на приемку и сокращение затрат потребителя продукции; повышение качества поставок .

Рецензенты:

Кориков Анатолий Михайлович, д.т.н., профессор, зав. кафедрой АСУ Томского университета систем управления и радиоэлектроники, г. Томск.

Сапожков Сергей Борисович, д.т.н., профессор, зав. кафедрой МИГ ЮТИ НИТПУ, г. Юрга.

Библиографическая ссылка

Еремина Е.А., Ведерников Д.Н. ИНФОРМАЦИОННАЯ СИСТЕМА ВЫБОРА ПОСТАВЩИКА НА ОСНОВЕ МЕТОДА НЕЧЕТКОГО ЛОГИЧЕСКОГО ВЫВОДА // Современные проблемы науки и образования. – 2013. – № 3.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=9317 (дата обращения: 04.01.2020). Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

Понятие нечеткого вывода занимает центральное место в нечеткой логике и в теории нечеткого управления. Говоря о нечеткой логике в системах управления, можно дать следующее определение системы нечеткого вывода.

Система нечеткого вывода – это процесс получения нечетких заключений о требуемом управлении объектом на основе нечетких условий или предпосылок, представляющих собой информацию о текущем состоянии объекта.

Этот процесс соединяет в себе все основные концепции теории нечетких множеств: функции принадлежности, лингвистические переменные, методы нечеткой импликации и т.п. Разработка и применение систем нечеткого вывода включает в себя ряд этапов, реализация которых выполняется на основе рассмотренных ранее положений нечеткой логики (рис.2.18).

Рис.2.18. Диаграмма процесса нечеткого вывода в нечетких САУ

База правил систем нечеткого вывода предназначена для формального представления эмпирических знаний экспертов в той или иной предметной области в форме нечетких продукционных правил. Таким образом, база нечетких продукционных правил системы нечеткого вывода – это система нечетких продукционных правил, отражающая знания экспертов о методах управления объектом в различных ситуациях, характере его функционирования в различных условиях и т.п., т.е. содержащая формализованные человеческие знания.

Нечеткое продукционное правило – это выражение вида:

(i):Q;P;A═>B;S,F,N,

Где (i) – имя нечеткой продукции, Q – сфера применения нечеткой продукции, P – условие применимости ядра нечеткой продукции, A═>B – ядро нечеткой продукции, в котором A – условие ядра (или антецедент), B – заключение ядра (или консеквент), ═> – знак логической секвенции или следования, S – метод или способ определения количественного значения степени истинности заключения ядра, F – коэффициент определенности или уверенности нечеткой продукции, N – постусловия продукции.

Сфера применения нечеткой продукции Q описывает явно или неявно предметную область знания, которую представляет отдельная продукция.

Условие применимости ядра продукции P представляет собой логическое выражение, как правило предикат. Если оно присутствует в продукции, то активизация ядра продукции становится возможной только в случае истинности этого условия. Во многих случаях этот элемент продукции может быть опущен или введен в ядро продукции.

Ядро A═>B является центральным компонентом нечеткой продукции. Оно может быть представлено в одной из более распространенных форм: «ЕСЛИ A ТО B», «IF A THEN B»; где A и B – некоторые выражения нечеткой логики, которые наиболее часто представляются в форме нечетких высказываний. В качестве выражений могут использоваться и составные логические нечеткие высказывания, т.е. элементарные нечеткие высказывания, соединенные нечеткими логическими связками, такими как нечеткое отрицание, нечеткая конъюнкция, нечеткая дизъюнкция.

S – метод или способ определения количественного значения степени истинности заключения B на основе известного значения степени истинности условия A. Данный способ определяет схему или алгоритм нечеткого вывода в продукционных нечетких системах и называется методом композиции или методом активации.

Коэффициент уверенности F выражает количественную оценку степени истинности или относительный вес нечеткой продукции. Коэффициент уверенности принимает свое значение из интервала и часто называется весовым коэффициентом нечеткого правила продукции.

Постусловие нечеткой продукции N описывает действия и процедуры, которые необходимо выполнить в случае реализации ядра продукции, т.е. получения информации об истинности B. Характер этих действий может быть самым различным и отражать вычислительный или иной аспект продукционной системы.

Согласованное множество нечетких продукционных правил образует нечеткую продукционную систему. Таким образом, нечеткая продукционная система– это относящийся к определенной предметной области список нечетких продукционных правил «IF A THEN B».

Простейший вариант нечеткого продукционного правила:

ПРАВИЛО <#> : ЕСЛИ β 1 « ЕСТЬ ά 1 » ТО « β 2 ЕСТЬ ά 2 »

RULE <#> : IF « β 1 IS ά 1 » THEN « β 2 display:block IS ά 2 ».

Антецедент и консеквент ядра нечеткой продукции может быть сложным, состоящим из связок «И», «ИЛИ», «НЕ», например:

ПРАВИЛО <#>: ЕСЛИ « β 1 ЕСТЬ ά » И « β 2 ЕСТЬ НЕ ά » ТО « β 1 ЕСТЬ НЕ β 2 »

RULE <#>: IF « β 1 IS ά » AND « β 2 IS NOT ά » THEN « β 1 IS NOT β 2 ».

Наиболее часто база нечетких продукционных правил представляется в форме согласованного относительно используемых лингвистических переменных структурированного текста:

ПРАВИЛО_1: ЕСЛИ «Условие_1» ТО «Заключение_1» (F 1 т),

ПРАВИЛО_n: ЕСЛИ «Условие_n» ТО «Заключение_n» (F n),

где F i ∈ является коэффициентом определенности или весовым коэффициентом соответствующего правила. Согласованность списка означает, что в качестве условий и заключений правил могут использоваться только простые и составные нечеткие высказывания, соединенные бинарными операциями «И», «ИЛИ», при этом в каждом из нечетких высказываний должны быть определены функции принадлежности значений терммножества для каждой лингвистической переменной. Как правило, функции принадлежности отдельных термов представляют треугольными или трапецеидальными функциями. Для наименования отдельных термов принято использовать следующие сокращения.

Таблица 2.3.

Пример. Имеется наливная емкость (бак) с непрерывным управляемым притоком жидкости и непрерывным неуправляемым расходом жидкости. База правил системы нечеткого вывода, соответствующая знаниям эксперта о том, какой необходимо выбрать приток жидкости чтобы уровень жидкости в баке оставался средним, будет выглядеть следующим образом:

ПРАВИЛО <1>:		И «расход жидкости большой»	ТО «приток жидкости	большой средний малый	»;
ПРАВИЛО <2>:	ЕСЛИ «уровень жидкости малый»	И «расход жидкости средний»	ТО «приток жидкости	большой средний малый	»;
ПРАВИЛО <3>:	ЕСЛИ «уровень жидкости малый»	И «расход жидкости малый»	ТО «приток жидкости	большой средний малый	»;
ПРАВИЛО <4>:		И «расход жидкости большой»	ТО «приток жидкости	большой средний малый	»;
ПРАВИЛО <5>:	ЕСЛИ «уровень жидкости средний»	И «расход жидкости средний»	ТО «приток жидкости	большой средний малый	»;
ПРАВИЛО <6>:	ЕСЛИ «уровень жидкости средний»	И «расход жидкости малый»	ТО «приток жидкости	большой средний малый	»;
ПРАВИЛО <7>:		И «расход жидкости большой»	ТО «приток жидкости	большой средний малый	»;
ПРАВИЛО <8>:	ЕСЛИ «уровень жидкости большой»	И «расход жидкости средний»	ТО «приток жидкости	большой средний малый	»;
ПРАВИЛО <9>:	ЕСЛИ «уровень жидкости большой»	И «расход жидкости малый»	ТО «приток жидкости	большой средний малый	».

Используя обозначения ZP – «малый», PM – «средний», PB – «большой», данную базу нечетких продукционных правил можно представить в виде таблицы, в узлах которой находятся соответствующие заключения о требуемом притоке жидкости:

Таблица 2.4.

Уровень ZP PM PB ZP 0 0 0 PM 0.5 0.25 0 PB 0.75 0.25 0

Фаззификация (введение нечеткости) – это установка соответствия между численным значением входной переменной системы нечеткого вывода и значением функции принадлежности соответствующего ей терма лингвистической переменной. На этапе фаззификации значениям всех входным переменным системы нечеткого вывода, полученным внешним по отношению к системе нечеткого вывода способом, например, при помощи датчиков, ставятся в соответствие конкретные значения функций принадлежности соответствующих лингвистических термов, которые используются в условиях (антецедентах) ядер нечетких продукционных правил, составляющих базу нечетких продукционных правил системы нечеткого вывода. Фаззификация считается выполненной, если найдены степени истинности μ A (x) всех элементарных логических высказываний вида « β ЕСТЬ ά », входящих в антецеденты нечетких продукционных правил, где ά – некоторый терм с известной функцией принадлежности μ A (x) , a – четкое численное значение, принадлежащее универсуму лингвистической переменной β .

Пример. Формализация описания уровня жидкости в баке и расхода жидкости проведена при помощи лингвистических переменных, в кортеже которых содержится по три нечетких переменных, соответствующих понятиям малого, среднего и большого значения соответствующих физических величин, функции принадлежности которых представлены на рис.2.19.

Треугольный Трапециевидный Z-линейный S-линейный
Треугольный Трапециевидный Z-линейный S-линейный
Текущий уровень:

Треугольный Трапециевидный Z-линейный S-линейный
Треугольный Трапециевидный Z-линейный S-линейный
Треугольный Трапециевидный Z-линейный S-линейный
Текущий расход:

Рис.2.19. Функции принадлежностей кортежей лингвистических переменных, соответствующих нечетким понятиям малого, среднего, большого уровня и расхода жидкости соответственно

Если текущие уровень и расход жидкости 2.5 м и 0.4 м 3 /cек соответственно, то при фаззификации получаем степени истинности элементарных нечетких высказываний:

• «уровень жидкости малый» – 0.75 ;
• «уровень жидкости средний» – 0.25 ;
• «уровень жидкости большой» – 0.00 ;
• «расход жидкости малый» – 0.00 ;
• «расход жидкости средний» – 0.50 ;
• «расход жидкости большой» – 1.00 .

Агрегирование – это процедура определения степени истинности условий по каждому из правил системы нечеткого вывода. При этом используются полученные на этапе фаззификации значения функций принадлежности термов лингвистических переменных, составляющих вышеупомянутые условия (антецеденты) ядер нечетких продукционных правил.

Если условие нечеткого продукционного правила является простым нечетким высказыванием, то степень его истинности соответствует значению функции принадлежности соответствующего терма лингвистической переменной.

Если условие представляет составное высказывание, то степень истинности сложного высказывания определяется на основе известных значений истинности составляющих его элементарных высказываний при помощи введенных ранее нечетких логических операций в одном из оговоренных заранее базисов.

Например , с учетом полученных в результате фаззификации значений истинности элементарных высказываний, степень истинности условий для каждого составного правила системы нечеткого вывода по управлению уровнем жидкости в баке, в соответствии с определением по Заде нечеткого логического «И» двух элементарных высказываний A, B: T(A ∩ B)=min{T(A);T(B)} , будет следующей.

ПРАВИЛО <1>: антецедент – «уровень жидкости малый» И «расход жидкости большой»; степень истинности
антецедента min{0.75 ;1.00 }=0.00 .

ПРАВИЛО <2>: антецедент – «уровень жидкости малый» И «расход жидкости средний»; степень истинности
антецедента min{0.75 ;0.50 }=0.00 .

ПРАВИЛО <3>: антецедент – «уровень жидкости малый» И «расход жидкости малый», степень истинности
антецедента min{0.75 ;0.00 }=0.00 .

ПРАВИЛО <4>: антецедент – «уровень жидкости средний» И «расход жидкости большой», степень истинности
антецедента min{0.25 ;1.00 }=0.00 .

ПРАВИЛО <5>: антецедент – «уровень жидкости средний» И «расход жидкости средний», степень истинности
антецедента min{0.25 ;0.50 }=0.00 .

ПРАВИЛО <6>: антецедент – «уровень жидкости средний» И «расход жидкости малый», степень истинности
антецедента min{0.25 ;0.00 }=0.00 .

ПРАВИЛО <7>: антецедент – «уровень жидкости большой» И «расход жидкости большой», степень истинности
антецедента min{0.00 ;1.00 }=0.00 .

ПРАВИЛО <8>: антецедент – «уровень жидкости большой» И «расход жидкости средний», степень истинности
антецедента min{0.00 ;0.50 }=0.00 .

ПРАВИЛО <9>: антецедент – «уровень жидкости большой» И «расход жидкости малый», степень истинности
антецедента min{0.00 ;0.00 }=0.00 .

Уровень 0.75 0.25 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.25 0 1 0.75 0.25 0

Активизация в системах нечеткого вывода – это процедура или процесс нахождения степени истинности каждого из элементарных логических высказываний (подзаключений), составляющих консеквенты ядер всех нечетких продукционных правил. Поскольку заключения делаются относительно выходных лингвистических переменных, то степеням истинности элементарных подзаключений при активизации ставятся в соответствие элементарные функции принадлежности.

Если заключение (консеквент) нечеткого продукционного правила является простым нечетким высказыванием, то степень его истинности равна алгебраическому произведению весового коэффициента и степени истинности антецедента данного нечеткого продукционного правила.

Если заключение представляет составное высказывание, то степень истинности каждого из элементарных высказываний равна алгебраическому произведению весового коэффициента и степени истинности антецедента данного нечеткого продукционного правила.

Если весовые коэффициенты продукционных правил не указаны явно на этапе формирования базы правил, то их значения по умолчанию равны единице.

Функции принадлежности μ (y) каждого из элементарных подзаключений консеквентов всех продукционных правил находятся при помощи одного из методов нечеткой композиции:

• min–активизация – μ (y) = min { c ; μ (x) } ;
• prod-активизация – μ (y) =c μ (x) ;
• average-активизация – μ (y) =0.5(c + μ (x)) ;

Где μ (x) и c – соответственно функции принадлежности термов лингвистических переменных и степени истинности нечетких высказываний, образующих соответствующие следствия (консеквенты) ядер нечетких продукционных правил.

Пример. Если формализация описания притока жидкости в баке проведена при помощи лингвистической переменной, в кортеже которой содержится три нечетких переменных, соответствующих понятиям малого, среднего и большого значения притока жидкости, функции принадлежности которых представлены на рис.2.19, то для продукционных правил системы нечеткого вывода по управлению уровнем жидкости в емкости посредством изменения притока жидкости, функции принадлежности всех подзаключений при min активизации будут выглядеть следующим образом (рис.2.20(а), (б)).

Рис.2.20(а). Функция принадлежностей кортежа лингвистических переменных, соответствующих нечетким понятиям малого, среднего, большого притока жидкости в бак и min-активизация всех подзаключений правил нечеткой продукции системы управления уровнем жидкости в баке

Рис.2.20(б). Функция принадлежностей кортежа лингвистических переменных, соответствующих нечетким понятиям малого, среднего, большого притока жидкости в бак и min-активизация всех подзаключений правил нечеткой продукции системы управления уровнем жидкости в баке

Аккумуляция (или аккумулирование ) в системах нечеткого вывода – это процесс нахождения функции принадлежности для каждой из выходных лингвистических переменных. Цель аккумуляции состоит в объединении всех степеней истинности подзаключений для получения функции принадлежности каждой из выходных переменных. Результат аккумуляции для каждой выходной лингвистической переменной определяется как объединение нечетких множеств всех подзаключений нечеткой базы правил относительно соответствующей лингвистической переменной. Объединение функций принадлежности всех подзаключений проводится как правило классически ∀ x ∈ X μ A ∪ B (x) = max { μ A (x) ; μ B (x) } (max-объединение), также могут использоваться операции:

• алгебраического объединения ∀ x ∈ X μ A+B x = μ A x + μ B x - μ A x ⋅ μ B x ,
• граничного объединения ∀ x ∈ X μ A B x = min{ μ A x ⋅ μ B x ;1} ,
• драстического объединения ∀ x ∈ X μ A ∇ B (x) = { μ B (x) , е с л и μ A (x) = 0, μ A (x) , е с л и μ B (x) = 0, 1, в остальных случаях,
• а также λ -суммы ∀ x ∈ X μ (A+B) x = λ μ A x +(1-λ) μ B x ,λ∈ .

Пример. Для продукционных правил системы нечеткого вывода по управлению уровнем жидкости в емкости посредством изменения притока жидкости, функция принадлежности лингвистической переменной «приток жидкости», полученная в результате аккумуляции всех подзаключений при max-объединении будет выглядеть следующим образом (рис.2.21).

Рис.2.21Функция принадлежности лингвистической переменной «приток жидкости»

Дефаззификация в системах нечеткого вывода – это процесс перехода от функции принадлежности выходной лингвистической переменной к её четкому (числовому) значению. Цель дефаззификации состоит в том, чтобы, используя результаты аккумуляции всех выходных лингвистических переменных, получить количественные значения для каждой выходной переменной, которое используется внешними по отношению к системе нечеткого вывода устройствами (исполнительными механизмами интеллектуальной САУ).

Переход от полученной в результате аккумуляции функции принадлежности μ (x) выходной лингвистической переменной к численному значению y выходной переменной производится одним из следующих методов:

• метод центра тяжести (Centre of Gravity) заключается в расчете центроида площади y = ∫ x min x max x μ (x) d x ∫ x min x max μ (x) d x , где [ x max ; x min ] – носитель нечеткого множества выходной лингвистической переменной; (на рис. 2.21 результат дефаззификации обозначен зеленой линией)
• метод центра площади (Centre of Area) заключается в расчете абсциссы y, делящей площадь, ограниченную кривой функции принадлежности μ (x) , так называемой биссектрисы площади ∫ x min y μ (x) d x = ∫ y x max μ (x) d x ;(на рис. 2.21 результат дефаззификации обозначен синей линией)
• метод левого модального значения y= x min ;
• метод правого модального значения y= x max

  Пример. Для продукционных правил системы нечеткого вывода по управлению уровнем жидкости в емкости посредством изменения притока жидкости дефаззификация функции принадлежности лингвистической переменной «приток жидкости» (рис.2.21) приводит к следующим результатам:

• метод центра тяжести y= 0.35375 м 3 /сек;
• метод центра площади y= 0, м 3 /сек
• метод левого модального значения y= 0.2 м 3 /сек;
• метод правого модального значения y= 0.5 м 3 /сек

Рассмотренные этапы нечеткого вывода могут быть реализованы неоднозначным образом: агрегирование может проводиться не только в базисе нечеткой логики Заде, активизация может проводиться различными методами нечеткой композиции, на этапе аккумуляции объединение можно провести отличным от max-объединения способом, дефаззификация также может проводиться различными методами. Таким образом, выбор конкретных способов реализации отдельных этапов нечеткого вывода определяет тот или иной алгоритм нечеткого вывода. В настоящее время остается открытым вопрос критериев и методов выбора алгоритма нечеткого вывода в зависимости от конкретной технической задачи. На текущий момент в системах нечеткого вывода наиболее часто применяются следующие алгоритмы.

Алгоритм Мамдани (Mamdani) нашел применение в первых нечетких системах автоматического управления. Был предложен в 1975 году английским математиком Е.Мамдани для управления паровым двигателем.

• Формирование базы правил системы нечеткого вывода осуществляется в виде упорядоченного согласованного списка нечетких продукционных правил в виде «IF A THEN B », где антецеденты ядер правил нечеткой продукции построены при помощи логических связок «И», а консеквенты ядер правил нечеткой продукции простые.
• Фаззификация входных переменных осуществляется описанным выше способом, так же, как и в общем случае построения системы нечеткого вывода.
• Агрегирование подусловий правил нечеткой продукции осуществляется при помощи классической нечеткой логической операции «И» двух элементарных высказываний A, B: T(A ∩ B) = min{ T(A);T(B) } .
• Активизация подзаключений правил нечеткой продукции осуществляется методом min-активизации μ (y) = min{c; μ (x) } , где μ (x) и c – соответственно функции принадлежности термов лингвистических переменных и степени истинности нечетких высказываний, образующих соответствующие следствия (консеквенты) ядер нечетких продукционных правил.
• Аккумуляция подзаключений правил нечеткой продукции проводится при помощи классического для нечеткой логики max-объединения функций принадлежности ∀ x ∈ X μ A B x = max{ μ A x ; μ B x } .
• Дефаззификация проводится методом центра тяжести или центра площади.

Например , описанный выше случай управления уровнем бака соответствует алгоритму Мамдани, если на этапе дефаззификации четкое значение выходной переменной ищется методом центра тяжести или площади: y= 0.35375 м 3 /сек или y= 0.38525 м 3 /сек соответственно.

Алгоритм Цукамото (Tsukamoto) формально выглядит следующим образом.

• Агрегирование подусловий правил нечеткой продукции осуществляется аналогично алгоритму Мамдани при помощи классической нечеткой логической операции «И» двух элементарных высказываний A, B: T(A ∩ B) = min{ T(A);T(B) }
• Активизация подзаключений правил нечеткой продукции проводится в два этапа. На первом этапе, степени истинности заключений (консеквентов) нечетких продукционных правил находятся аналогично алгоритму Мамдани, как алгебраическое произведение весового коэффициента и степени истинности антецедента данного нечеткого продукционного правила. На втором этапе, в отличие от алгоритма Мамдани, для каждого из продукционных правил вместо построения функций принадлежности подзаключений решается уравнение μ (x)=c и определяется четкое значение ω выходной лингвистической переменной, где μ (x) и c – соответственно функции принадлежности термов лингвистических переменных и степени истинности нечетких высказываний, образующих соответствующие следствия (консеквенты) ядер нечетких продукционных правил.
• На этапе дефаззификации для каждой лингвистической переменной осуществляется переход от дискретного множества четких значений { w 1 . . . w n } к единственному четкому значению согласно дискретному аналогу метода центра тяжести y = ∑ i = 1 n c i w i ∑ i = 1 n c i ,

  где n – количество правил нечеткой продукции, в подзаключениях которой фигурирует данная лингвистическая переменная, c i – степень истинности подзаключения продукционного правила, w i – четкое значение данной лингвистической переменной, полученное на стадии активизации путем решения уравнения μ (x) = c i , т.е. μ (w i) = c i , а μ (x) представляет функцию принадлежности соответствующего терма лингвистической переменной.

Например, алгоритм Цукамото реализуется, если в описанном выше случае управления уровнем бака:

• на этапе активизации воспользоваться данными рис.2.20 и для каждого продукционного правила графически решить уравнение μ (x) = c i , т.е. найти пары значений (c i , w i) : rule1 - (0,75 ; 0,385), rule2 - (0,5 ; 0,375), rule3- (0 ; 0), rule4 - (0,25 ; 0,365), rule5 - (0,25 ; 0,365),
  rule6 - (0 ; 0), rule7 - (0 ; 0), rule7 - (0 ; 0), rule8 - (0 ; 0), rule9 - (0 ; 0), для пятого правила существует два корня;
• на этапе дефаззификации для лингвистической переменной «приток жидкости» осуществить переход от дискретного множества четких значений { ω 1 . . . ω n } к единственному четкому значению согласно дискретному аналогу метода центра тяжести y = ∑ i = 1 n c i w i ∑ i = 1 n c i , y= 0.35375 м 3 /сек

Алгоритм Ларсена формально выглядит следующим образом.

• Формирование базы правил системы нечеткого вывода осуществляется аналогично алгоритму Мамдани.
• Фаззификация входных переменных осуществляется аналогично алгоритму Мамдани.
• Активизация подзаключений правил нечеткой продукции осуществляется методом prod-активизации, μ (y)=c μ (x) , где μ (x) и c – соответственно функции принадлежности термов лингвистических переменных и степени истинности нечетких высказываний, образующих соответствующие следствия (консеквенты) ядер нечетких продукционных правил.
• Аккумуляция подзаключений правил нечеткой продукции проводится аналогично алгоритму Мамдани при помощи классического для нечеткой логики max-объединения функций принадлежности T(A ∩ B) = min{ T(A);T(B) } .
• Дефаззификация проводится любым из рассмотренных выше методов.

Например, алгоритм Ларсена реализуется, если в описанном выше случае управления уровнем бака, на этапе активизации получены функции принадлежности всех подзаключений согласно prod-активизации (рис.2.22(а),(б)), тогда функция принадлежности лингвистической переменной «приток жидкости», полученная в результате аккумуляции всех подзаключений при max-объединении будет выглядеть следующим образом (рис.2.22(б)), а дефаззификация функции принадлежности лингвистической переменной «приток жидкости» приводит к следующим результатам: метод центра тяжести y= 0.40881 м 3 /сек, метод центра площади y= 0.41017 м 3 /сек

Рис.2.22(а) Prod-активизация всех подзаключений правил нечеткой продукции системы управления уровнем жидкости в баке

Рис.2.22(б) Prod-активизация всех подзаключений правил нечеткой продукции системы управления уровнем жидкости в баке и полученная путем max-объединения функция принадлежности лингвистической переменной «приток жидкости»

,Алгоритм Сугено(Sugeno) выглядит следующим образом.

• Формирование базы правил системы нечеткого вывода осуществляется в виде упорядоченного согласованного списка нечетких продукционных правил в виде «IF A AND B THEN w = ε 1 a + ε 2 b », где антецеденты ядер правил нечеткой продукции построены из двух простых нечетких высказываний A, B при помощи логических связок «И», a и b – четкие значения входных переменных, соответствующие высказываниям A и B соответственно, ε 1 и ε 2 – весовые коэффициенты, определяющие коэффициенты пропорциональности между четкими значениями входных переменных и выходной переменной системы нечеткого вывода, w – четкое значение выходной переменной, определенное в заключении нечеткого правила, как действительное число.
• Фаззификация входных переменных, определяющих высказывания и, осуществляется аналогично алгоритму Мамдани.
• Агрегирование подусловий правил нечеткой продукции осуществляется аналогично алгоритму Мамдани при помощи классической нечеткой логической операции «И» двух элементарных высказываний A, B: T(A ∩ B) = min{ T(A);T(B) } .
• «Активизация подзаключений правил нечеткой продукции проводится в два этапа. На первом этапе, степени истинности c заключений (консеквентов) нечетких продукционных правил, ставящих в соответствие выходной переменной действительные числа, находятся аналогично алгоритму Мамдани, как алгебраическое произведение весового коэффициента и степени истинности антецедента данного нечеткого продукционного правила. На втором этапе, в отличие от алгоритма Мамдани, для каждого из продукционных правил вместо построения функций принадлежности подзаключений в явном виде находится четкое значение выходной переменной w = ε 1 a + ε 2 b . Таким образом, каждому i-му продукционному правилу ставится в соответствие точка (c i w i) , где c i – степень истинности продукционного правила, w i – четкое значение выходной переменной, определенной в консеквенте продукционного правила.
• Аккумуляция заключений правил нечеткой продукции не проводится, поскольку на этапе активизации уже получены дискретные множества четких значений для каждой из выходных лингвистических переменных.
• Дефаззификация проводится как и в алгоритме Цукамото. Для каждой лингвистической переменной осуществляется переход от дискретного множества четких значений { w 1 . . . w n } к единственному четкому значению согласно дискретному аналогу метода центра тяжести y = ∑ i = 1 n c i w i ∑ i = 1 n c i , где n – количество правил нечеткой продукции, в подзаключениях которой фигурирует данная лингвистическая переменная, c i – степень истинности подзаключения продукционного правила, w i – четкое значение данной лингвистической переменной, установленное в консеквенте продукционного правила.

Например, алгоритм Сугено реализуется, если в описанном выше случае управления уровнем жидкости в баке на этапе формирования базы правил системы нечеткого вывода правила задаются исходя из того, что при поддержании постоянного уровня жидкости численные значения притока w и расхода b должны быть равны между собой ε 2 =1 , а скорость наполняемости емкости определяется соответственным изменением коэффициента пропорциональности ε 1 между притоком w и уровнем жидкости a . В этом случае база правил системы нечеткого вывода, соответствующая знаниям эксперта о том, какой необходимо выбрать приток жидкости w = ε 1 a + ε 2 b чтобы уровень жидкости в баке оставался средним, будет выглядеть следующим образом:

ПРАВИЛО <1>: ЕСЛИ «уровень жидкости малый» И «расход жидкости большой» ТО w=0,3a+b ;

ПРАВИЛО <2>: ЕСЛИ «уровень жидкости малый» И «расход жидкости средний» ТО w=0,2a+b ;

ПРАВИЛО <3>: ЕСЛИ «уровень жидкости малый» И «расход жидкости малый» ТО w=0,1a+b ;

ПРАВИЛО <4>: ЕСЛИ «уровень жидкости средний» И «расход жидкости большой» ТО w=0,3a+b ;

ПРАВИЛО <5>: ЕСЛИ «уровень жидкости средний» И «расход жидкости средний» ТО w=0,2a+b ;

ПРАВИЛО <6>: ЕСЛИ «уровень жидкости средний» И «расход жидкости малый» ТО w=0,1a+b ;

ПРАВИЛО <7>:ЕСЛИ «уровень жидкости большой» И «расход жидкости большой» ТО w=0,4a+b ;

ПРАВИЛО <8>: ЕСЛИ «уровень жидкости большой» И «расход жидкости средний» ТО w=0,2a+b ;

ПРАВИЛО <9>: ЕСЛИ «уровень жидкости большой» И «расход жидкости малый» ТО w=0,1a+b .

При уже рассмотренных ранее текущих уровне и расходе жидкости a= 2.5 м и b= 0.4 м 3 /сек соответственно, в результате фаззификации, агрегирования и активизации с учетом явного определения четких значений выходной переменной в консеквентах продукционных правил получаем пары значений (c i w i) : rule1 - (0,75 ; 1,15), rule2 - (0,5 ; 0.9), rule3- (0 ; 0,65), rule4 - (0,25 ; 1,15), rule5 - (0,25 ; 0,9), rule6 - (0 ; 0,65), rule7 - (0 ; 0), rule7 - (0 ; 1,14), rule8 - (0 ; 0,9), rule9 - (0 ; 0,65) . На этапе дефаззификации для лингвистической переменной «приток жидкости» осуществляется переход от дискретного множества четких значений { w 1 . . . w n } к единственному четкому значению согласно дискретному аналогу метода центра тяжести y = ∑ i = 1 n c i w i ∑ i = 1 n c i , y= 1.0475 м 3 /сек

Упрощенный алгоритм нечеткого вывода формально задается точно так же, как и алгоритм Сугено, только при явном задании четких значений в консеквентах продукционных правил вместо соотношения w= ε 1 a+ ε 1 b используется явное задание непосредственного значения w . Таким образом, формирование базы правил системы нечеткого вывода осуществляется в виде упорядоченного согласованного списка нечетких продукционных правил в виде «IF A AND B THEN w=ε », где антецеденты ядер правил нечеткой продукции построены из двух простых нечетких высказываний A, B при помощи логических связок «И», w – четкое значение выходной переменной, определенное для каждого заключения i -го правила, как действительное число ε i .

Например, упрощенный алгоритм нечеткого вывода реализуется, если в описанном выше случае управления уровнем жидкости в баке на этапе формирования базы правил системы нечеткого вывода правила задаются следующим образом:

ПРАВИЛО <1>: ЕСЛИ «уровень жидкости малый» И «расход жидкости большой» ТО w=0,6 ;

ПРАВИЛО <2>: ЕСЛИ «уровень жидкости малый» И «расход жидкости средний» ТО w=0,5 ;

ПРАВИЛО <3>: ЕСЛИ «уровень жидкости малый» И «расход жидкости малый» ТО w=0,4 ;

ПРАВИЛО <4>: ЕСЛИ «уровень жидкости средний» И «расход жидкости большой» ТО w=0,5 ;

ПРАВИЛО <5>: ЕСЛИ «уровень жидкости средний» И «расход жидкости средний» ТО w=0,4 ;

ПРАВИЛО <6>: ЕСЛИ «уровень жидкости средний» И «расход жидкости малый» ТО w=0,3 ;

ПРАВИЛО <7>:ЕСЛИ «уровень жидкости большой» И «расход жидкости большой» ТО w=0,3 ;

ПРАВИЛО <8>: ЕСЛИ «уровень жидкости большой» И «расход жидкости средний» ТО w=0,2 ;

ПРАВИЛО <9>: ЕСЛИ «уровень жидкости большой» И «расход жидкости малый» ТО w=0,1 .

При уже рассмотренных ранее текущих уровне и расходе жидкости и соответственно, в результате фаззификации, агрегирования и активизации с учетом явного определения четких значений выходной переменной в консеквентах продукционных правил получаем пары значений (c i w i) : rule1 - (0,75 ; 0,6), rule2 - (0,5 ; 0,5), rule3- (0 ; 0,4), rule4 - (0,25 ; 0,5), rule5 - (0,25 ; 0,4), rule6 - (0 ; 0,3),
rule7 - (0 ; 0,3), rule7 - (0 ; 0,3), rule8 - (0 ; 0,2), rule9 - (0 ; 0,1) . На этапе дефаззификации для лингвистической переменной «приток жидкости» осуществляется переход от дискретного множества четких значений { w 1 . . . w n } к единственному четкому значению согласно дискретному аналогу метода центра тяжести y = ∑ i = 1 n c i w i ∑ i = 1 n c i , y= 1.0475 м 3 /сек, y= 0.5 м 3 /сек