Чему равно a b 3. Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса "Алгебра" за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

Формулы сокращенного умножения

1. формула квадрата суммы: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. формула квадрата разности: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
3. формула куба суммы: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. формула куба разности: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. формула разности квадратов: a 2 - b 2 = a - b a + b
6. формула суммы кубов: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
7. формула разности кубов: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы - соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.

Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.

Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Здесь C n k - биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:

C n k = n ! k ! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Как видим, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы - это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.

Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Еще одна формула, которая может пригодится - формула формула разности n-ых степеней двух слагаемых.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Эту формулу обычно разделяют на две формулы - соответственно для четных и нечетных степеней.

Для четных показателей 2m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Для нечетных показателей 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n = 2 и n = 3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на - b .

Как читать формулы сокращенного умножения?

Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 запишем:

квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

Прочитаем формулу a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.

Переходим к чтению формулы для разности кубов a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 . Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

Пятая формула a 2 - b 2 = a - b a + b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа a 2 + a b + b 2 и a 2 - a b + b 2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.

С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Доказательство ФСУ

Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.

Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.

a - b 2 = a - b a - b .

Раскроем скобки:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.

Примеры применения ФСУ

Цель использования формул сокращенного умножения - быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, разложении многочленов на множители. Приведем примеры.

Пример 1. ФСУ

Упростим выражение 9 y - (1 + 3 y) 2 .

Применим формулу суммы квадратов и получим:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Пример 2. ФСУ

Сократим дробь 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .

Замечаем, что выражение в числителе - разность кубов, а в знаменателе - разность квадратов.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Сокращаем и получаем:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

Также ФСУ помогают вычислять значения выражений. Главное - уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число 79 . Вместо громоздких вычислений, запишем:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.

Еще один важный момент - выделение квадрата двучлена. Выражение 4 x 2 + 4 x - 3 можно преобразовать в вид 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Такие преобразования широко используются в интегрировании.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

На данном уроке мы познакомимся с формулами квадрата суммы и квадрата разности и выведем их. Формулу квадрата суммы докажем геометрически. Кроме того, решим много различных примеров с применением этих формул.

Рассмотрим формулу квадрата суммы:

Итак, мы вывели формулу квадрата суммы:

Словесно эта формула выражается так: квадрат суммы равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

Данную формулу легко представить геометрически.

Рассмотрим квадрат со стороной :

Площадь квадрата.

С другой стороны, этот же квадрат можно представить иначе, разбив сторону на а и b (рис. 1).

Рис. 1. Квадрат

Тогда площадь квадрата можно представить в виде суммы площадей:

Поскольку квадраты были одинаковы, то их площади равны, значит:

Итак, мы доказали геометрически формулу квадрата суммы.

Рассмотрим примеры:

Комментарий: пример решен с применением формулы квадрата суммы.

Выведем формулу квадрата разности:

Итак, мы вывели формулу квадрата разности:

Словесно эта формула выражается так: квадрат разности равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

Рассмотрим примеры:

Формулы квадрата суммы и квадрата разности могут работать как слева направо, так и справа налево. При использовании слева направо это будут формулы сокращенного умножения, они применяются при вычислении и преобразовании примеров. А при использовании справа налево - формулы разложения на множители.

Рассмотрим примеры, в которых нужно разложить заданный многочлен на множители, применяя формулы квадрата суммы и квадрата разности. Для этого нужно очень внимательно посмотреть на многочлен и определить, как именно его правильно разложить.

Комментарий: для того, чтобы разложить многочлен на множители, нужно определить, что представлено в данном выражении. Итак, мы видим квадрат и квадрат единицы. Теперь нужно найти удвоенное произведение - это . Итак, все необходимые элементы есть, нужно только определить, это квадрат суммы или разности. Перед удвоенным произведением стоит знак плюс, значит, перед нами квадрат суммы.

На данном уроке мы познакомимся с формулами квадрата суммы и квадрата разности и выведем их. Формулу квадрата суммы докажем геометрически. Кроме того, решим много различных примеров с применением этих формул.

Формулировка темы урока

Рас-смот-рим фор-му-лу квад-ра-та суммы:

Выведение и доказательство формулы квадрата суммы

Итак, мы вы-ве-ли фор-му-лу квад-ра-та суммы:

Сло-вес-но эта фор-му-ла вы-ра-жа-ет-ся так: квад-рат суммы равен квад-ра-ту пер-во-го числа плюс удво-ен-ное про-из-ве-де-ние пер-во-го числа на вто-рое плюс квад-рат вто-ро-го числа.

Дан-ную фор-му-лу легко пред-ста-вить гео-мет-ри-че-ски.

Рас-смот-рим квад-рат со сто-ро-ной :

Пло-щадь квад-ра-та.

С дру-гой сто-ро-ны, этот же квад-рат можно пред-ста-вить иначе, раз-бив сто-ро-ну на а и b (рис. 1).

Рис. 1. Квад-рат

Тогда пло-щадь квад-ра-та можно пред-ста-вить в виде суммы пло-ща-дей:

По-сколь-ку квад-ра-ты были оди-на-ко-вы, то их пло-ща-ди равны, зна-чит:

Итак, мы до-ка-за-ли гео-мет-ри-че-ски фор-му-лу квад-ра-та суммы.

Решение примеров на формулу квадрат суммы

Рас-смот-рим при-ме-ры:

При-мер 1:

Ком-мен-та-рий: при-мер решен с при-ме-не-ни-ем фор-му-лы квад-ра-та суммы.

При-мер 2:

При-мер 3:

Выведение формулы квадрата разности

Вы-ве-дем фор-му-лу квад-ра-та раз-но-сти:

Итак, мы вы-ве-ли фор-му-лу квад-ра-та раз-но-сти:

Сло-вес-но эта фор-му-ла вы-ра-жа-ет-ся так: квад-рат раз-но-сти равен квад-ра-ту пер-во-го числа минус удво-ен-ное про-из-ве-де-ние пер-во-го числа на вто-рое плюс квад-рат вто-ро-го числа.

Решение примеров на формулу квадрат разности

Рас-смот-рим при-ме-ры:

При-мер 4:

При-мер 5:

При-мер 6:

Фор-му-лы квад-ра-та суммы и квад-ра-та раз-но-сти могут ра-бо-тать как слева на-пра-во, так и спра-ва на-ле-во. При ис-поль-зо-ва-нии слева на-пра-во это будут фор-му-лы со-кра-щен-но-го умно-же-ния, они при-ме-ня-ют-ся при вы-чис-ле-нии и пре-об-ра-зо-ва-нии при-ме-ров. А при ис-поль-зо-ва-нии спра-ва на-ле-во - фор-му-лы раз-ло-же-ния на мно-жи-те-ли.

Рас-смот-рим при-ме-ры, в ко-то-рых нужно раз-ло-жить за-дан-ный мно-го-член на мно-жи-те-ли, при-ме-няя фор-му-лы квад-ра-та суммы и квад-ра-та раз-но-сти. Для этого нужно очень вни-ма-тель-но по-смот-реть на мно-го-член и опре-де-лить, как имен-но его пра-виль-но раз-ло-жить.

Решение примеров на разложение многочлена на множители

При-мер 7:

Ком-мен-та-рий: для того, чтобы раз-ло-жить мно-го-член на мно-жи-те-ли, нужно опре-де-лить, что пред-став-ле-но в дан-ном вы-ра-же-нии. Итак, мы видим квад-рат и квад-рат еди-ни-цы. Те-перь нужно найти удво-ен-ное про-из-ве-де-ние - это . Итак, все необ-хо-ди-мые эле-мен-ты есть, нужно толь-ко опре-де-лить, это квад-рат суммы или раз-но-сти. Перед удво-ен-ным про-из-ве-де-ни-ем стоит знак плюс, зна-чит, перед нами квад-рат суммы.

При-мер 8:

При-мер 9:

Ком-мен-та-рий : для ре-ше-ния дан-но-го при-ме-ра нужно вы-не-сти минус за скоб-ки, чтобы можно было уви-деть нуж-ную нам фор-му-лу.

Решение различных типовых задач на применение формул квадрата суммы и разности

Пе-рей-дем к ре-ше-нию урав-не-ний:

При-мер 10:

Ком-мен-та-рий : для ре-ше-ния дан-но-го урав-не-ния нужно упро-стить левую часть, при-ме-няя фор-му-лу раз-но-сти квад-ра-тов и квад-ра-та раз-но-сти, после этого при-ве-сти по-доб-ные члены. После этого пе-ре-не-сти все неиз-вест-ные в левую часть, а сво-бод-ный член в пра-вую и ре-шить эле-мен-тар-ное ли-ней-ное урав-не-ние.

При-мер 11:

Вы-чис-лить: .

Ком-мен-та-рий : для ре-ше-ния дан-но-го при-ме-ра нужно при-ме-нить фор-му-лы раз-но-сти квад-ра-тов и квад-ра-та суммы, после этого со-кра-тить по-лу-чен-ную дробь.

При-мер 12:

До-ка-зать ра-вен-ство:

Раз-ло-жим на мно-жи-те-ли :

Из каж-до-го мно-жи-те-ля вы-не-сем минус еди-ни-цу за скоб-ки:

Мы до-ка-за-ли ра-вен-ство (a - b)2 = (b - a)2.

Дан-ное ра-вен-ство яв-ля-ет-ся очень по-лез-ным при упро-ще-нии вы-ра-же-ний. Рас-смот-рим при-мер.

При-мер 13:

Раз-ло-жить на мно-жи-те-ли: .

При-мер 14:

До-ка-жи-те, что квад-рат вся-ко-го нечет-но-го числа, умень-шен-ный на еди-ни-цу, де-лит-ся на во-семь.

Пред-ста-вим про-из-воль-ное нечет-ное число как , а его квад-рат, со-от-вет-ствен-но, как . За-пи-шем вы-ра-же-ние со-глас-но усло-вию:

Упро-стим по-лу-чен-ное вы-ра-же-ние:

Чтобы до-ка-зать, что по-лу-чен-ное вы-ра-же-ние крат-но вось-ми, нам нужно до-ка-зать, что оно де-лит-ся на 2 и на 4. Оче-вид-но, что вы-ра-же-ние крат-но че-ты-рем, так как в нем есть мно-жи-тель 4. По-это-му нам нужно до-ка-зать, что де-лит-ся на 2.

За-пись - это про-из-ве-де-ние двух по-сле-до-ва-тель-ных чисел, а оно все-гда крат-но двум, так как из двух по-сле-до-ва-тель-ных чисел одно все-гда будет чет-ным, а вто-рое, со-от-вет-ствен-но, нечет-ным, а про-из-ве-де-ние чет-но-го числа на нечет-ное крат-но двум, зна-чит, вы-ра-же-ние крат-но вось-ми. Итак, мы до-ка-за-ли, что квад-рат вся-ко-го нечет-но-го числа, умень-шен-ный на еди-ни-цу, де-лит-ся на во-семь.

Выводы по уроку

Вывод : на дан-ном уроке мы вы-ве-ли фор-му-лы квад-ра-та суммы и квад-ра-та раз-но-сти и на-учи-лись ре-шать самые раз-но-об-раз-ные за-да-чи на при-ме-не-ние этих фор-мул.

На данном уроке мы вспомним выученные ранее формулы сокращенного умножения, а именно квадрата суммы и квадрата разности. Выведем формулу разности квадратов и решим много различных типовых задач на применение этой формулы. Кроме того, решим задачи на комплексное применение нескольких формул.

Формулировка темы и цели урока и напоминание материала предыдущего урока

На-пом-ним, что на преды-ду-щем уроке мы рас-смот-ре-ли фор-му-лы квад-ра-та суммы и квад-ра-та раз-но-сти. За-пи-шем их:

Вывод формулы разности квадратов

Вы-ве-дем фор-му-лу раз-но-сти квад-ра-тов. Вы-пол-ним умно-же-ние дву-чле-нов по пра-ви-лу:

Сло-вес-но дан-ная фор-му-ла вы-гля-дит так: раз-ность квад-ра-тов двух вы-ра-же-ний равна про-из-ве-де-нию суммы этих вы-ра-же-ний на их раз-ность.

Мы на-зы-ва-ем раз-но-стью квад-ра-тов.

Мы на-зы-ва-ем квад-ра-том раз-но-сти, не сле-ду-ет пу-тать два этих вы-ра-же-ния.

Примеры прямого использования формулы и формулировка стандартной ошибки

Рас-смот-рим при-ме-не-ние фор-мул в ти-по-вых за-да-чах. Нач-нем с задач на пря-мое при-ме-не-ние фор-му-лы.

При-мер 1: .

При-мем за , за , по-лу-чим:

.

Рас-пи-шем со-глас-но фор-му-ле:

Пе-рей-дем к ис-ход-ным пе-ре-мен-ным:

Стан-дарт-ная ошиб-ка:

по-ме-ня-ем в скоб-ке со зна-ком плюс сла-га-е-мые ме-ста-ми, по-лу-чим:

.

Часто при такой за-пи-си пу-та-ют, какой квад-рат сле-ду-ет вы-честь из ка-ко-го:

Решение примеров на прямое применение формулы

При-мер 2:

Ком-мен-та-рий : если воз-ни-ка-ют за-труд-не-ния, можно, ана-ло-гич-но преды-ду-ще-му при-ме-ру, за-ме-нить одно из вы-ра-же-ний на а, а вто-рое на b, чтобы легче было уви-деть нуж-ную фор-му-лу.

При-мер 3:

Ком-мен-та-рий : в дан-ном при-ме-ре сле-ду-ет быть вни-ма-тель-ны-ми и не до-пу-стить ти-по-вую ошиб-ку, опи-сан-ную выше. Для этого удоб-но в пер-вой скоб-ке по-ме-нять сла-га-е-мые ме-ста-ми.

Пе-рей-дем к за-да-чам на об-рат-ное при-ме-не-ние фор-му-лы - раз-ло-же-ние на мно-жи-те-ли.

При-мер 4:

Ком-мен-та-рий: при-мер решен из опре-де-ле-ния раз-но-сти квад-ра-тов. Нужно толь-ко опре-де-лить, квад-ра-том ка-ко-го вы-ра-же-ния яв-ля-ет-ся пер-вый од-но-член и вто-рой.

При-мер 5:

При-мер 6:

Ком-мен-та-рий : в дан-ном при-ме-ре нужно несколь-ко раз при-ме-нить изу-ча-е-мую фор-му-лу. Может быть за-да-но из по-лу-чен-ной в конце длин-ной фор-му-лы по-лу-чить стан-дарт-ный вид мно-го-чле-на, тогда нужно по-сте-пен-но пе-ре-мно-жать скоб-ки между собой и сво-ра-чи-вать вы-ра-же-ние до про-стей-ше-го.

Примеры на комплексное применение нескольких формул

Сле-ду-ю-щий тип задач - ком-би-ни-ро-ван-ное при-ме-не-ние несколь-ких фор-мул.

При-мер 7 - упро-стить:

Ком-мен-та-рий: в дан-ном при-ме-ре нужно при-ме-нить две фор-му-лы: раз-но-сти квад-ра-тов и квад-ра-та раз-но-сти, в по-лу-чен-ном вы-ра-же-нии при-ве-сти по-доб-ные члены.

При-мер 8:

Решение уравнений и вычислительных задач

Пе-рей-дем к ре-ше-нию урав-не-ний.

При-мер 9:

Рас-смот-рим вы-чис-ли-тель-ные за-да-чи.

При-мер 10:

При-мер 11:

Выводы по уроку и домашнее задание

Вывод : на дан-ном уроке мы вы-ве-ли фор-му-лу раз-но-сти квад-ра-тов и ре-ши-ли много раз-лич-ных при-ме-ров, а имен-но урав-не-ния, вы-чис-ли-тель-ные за-да-чи, за-да-ния на пря-мое и об-рат-ное ис-поль-зо-ва-ние вы-ве-ден-ной фор-му-лы и дру-гие. Кроме того, ре-ши-ли несколь-ко задач на ком-плекс-ное при-ме-не-ние несколь-ких фор-мул.

На данном уроке мы продолжим изучать формулы сокращенного умножения, а именно рассмотрим формулы разности и суммы кубов. Кроме того, мы решим различные типовые задачи на применение данных формул.

Выведение формулы разности кубов

При изу-че-нии фор-мул со-кра-щен-но-го умно-же-ния мы уже изу-чи-ли:

Квад-рат суммы и раз-но-сти;

Раз-ность квад-ра-тов.

Вы-ве-дем фор-му-лу раз-но-сти кубов.

Наша за-да-ча - до-ка-зать, что при рас-кры-тии ско-бок в пра-вой части и при-ве-де-нии по-доб-ных сла-га-е-мых мы при-дем в ре-зуль-та-те к левой части.

Вы-ра-же-ние на-зы-ва-ет-ся непол-ным квад-ра-том суммы, так как от-сут-ству-ет двой-ка перед про-из-ве-де-ни-ем вы-ра-же-ний.

Выведение формулы суммы кубов

Опре-де-ле-ние

Раз-ность кубов двух вы-ра-же-ний есть про-из-ве-де-ние раз-но-сти этих вы-ра-же-ний на непол-ный квад-рат их суммы.

Вы-ве-дем фор-му-лу суммы кубов.

Вы-пол-ня-ем умно-же-ние мно-го-чле-нов:

Что и тре-бо-ва-лось до-ка-зать.

Вы-ра-же-ние на-зы-ва-ет-ся непол-ным квад-ра-том раз-но-сти, так как от-сут-ству-ет двой-ка перед про-из-ве-де-ни-ем вы-ра-же-ний.

Задачи на упрощение выражений

Опре-де-ле-ние

Сумма кубов двух вы-ра-же-ний есть про-из-ве-де-ние суммы этих вы-ра-же-ний на непол-ный квад-рат их раз-но-сти.

При-мер 1 - упро-стить вы-ра-же-ние:

Пусть и , имеем:

Это изу-ча-е-мая фор-му-ла - раз-но-сти кубов:

При-мер 2 - упро-стить вы-ра-же-ние:

Пусть и , имеем:

Это изу-ча-е-мая фор-му-ла - суммы кубов.

Формулы сокращенного выражения очень часто применяются на практике, так что их все желательно выучить наизусть. До этого момента нам будет служить верой и правдой , которую мы рекомендуем распечатать и все время держать перед глазами:

Первые четыре формулы из составленной таблицы формул сокращенного умножения позволяют возводить в квадрат и куб сумму или разность двух выражений. Пятая предназначена для краткого умножения разности и суммы двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений a и b на их неполный квадрат разности (так называют выражение вида a 2 −a·b+b 2 ) и разности двух выражений a и b на неполный квадрат их суммы (a 2 +a·b+b 2 ) соответственно.

Стоит отдельно заметить, что каждое равенство в таблице представляет собой тождество . Этим объясняется, почему формулы сокращенного умножения еще называют тождествами сокращенного умножения.

При решении примеров, особенно в которых имеет место разложение многочлена на множители , ФСУ часто используют в виде с переставленными местами левыми и правыми частями:

Три последних тождества в таблице имеют свои названия. Формула a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) называется формулой разности квадратов , a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2 ) - формулой суммы кубов , а a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2 ) - формулой разности кубов . Обратите внимание, что соответствующим формулам с переставленными частями из предыдущей таблицы фсу мы никак не назвали.

Дополнительные формулы

В таблицу формул сокращенного умножения не помешает добавить еще несколько тождеств.

Сферы применения формул сокращенного умножения (фсу) и примеры

Основное предназначение формул сокращенного умножения (фсу) объясняется их названием, то есть, оно состоит в кратком умножении выражений. Однако сфера применения ФСУ намного шире, и не ограничивается кратким умножением. Перечислим основные направления.

Несомненно, центральное приложение формулы сокращенного умножения нашли в выполнении тождественных преобразований выражений . Наиболее часто эти формулы используются в процессе упрощения выражений .

Пример.

Упростите выражение 9·y−(1+3·y) 2 .

Решение.

В данном выражении возведение в квадрат можно выполнить сокращенно, имеем 9·y−(1+3·y) 2 =9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2) . Остается лишь раскрыть скобки и привести подобные члены: 9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2 .

Выражение (a + b ) 2 - это квадрат суммы чисел a и b . По определению степени выражение (a + b a + b )(a + b ). Следовательно, из квадрата суммы мы можем сделать выводы, что

(a + b ) 2 = (a + b )(a + b ) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,

т. е. квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

формула квадрата суммы

(a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Многочлен a 2 + 2ab + b 2 называется разложением квадрата суммы.

Так как a и b обозначают любые числа или выражения, то правило даёт нам возможность сокращённым путём возводить в квадрат любое выражение, которое может быть рассмотрено как сумма двух слагаемых.

Пример. Возвести в квадрат выражение 3x 2 + 2xy .

Решение: чтобы не производить дополнительных преобразований, воспользуемся формулой квадрата суммы. У нас должна получиться сумма квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

(3x 2 + 2xy ) 2 = (3x 2) 2 + 2(3x 2 · 2xy ) + (2xy ) 2

Теперь, пользуясь правилами умножения и возведения в степень одночленов , упростим получившееся выражение:

(3x 2) 2 + 2(3x 2 · 2xy ) + (2xy ) 2 = 9x 4 + 12x 3 y + 4x 2 y 2

Квадрат разности

Выражение (a - b ) 2 - это квадрат разности чисел a и b . Выражение (a - b ) 2 представляет собой произведение двух многочленов (a - b )(a - b ). Следовательно, из квадрата разности мы можем сделать выводы, что

(a - b ) 2 = (a - b )(a - b ) = a 2 - ab - ab + b 2 = a 2 - 2ab + b 2 ,

т. е. квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата разности , без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

(a - b ) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Многочлен a 2 - 2ab + b 2 называется разложением квадрата разности.

Это правило применяется к сокращённому возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел.

Пример. Представьте квадрат разности в виде трёхчлена:

(2a 2 - 5ab 2) 2

Решение: используя формулу квадрата разности находим:

(2a 2 - 5ab 2) 2 = (2a 2) 2 - 2(2a 2 · 5ab 2) + (5ab 2) 2

Теперь преобразуем выражение в многочлен стандартного вида :

(2a 2) 2 - 2(2a 2 · 5ab 2) + (5ab 2) 2 = 4a 4 - 20a 3 b 2 + 25a 2 b 4

Разность квадратов

Выражение a 2 - b 2 - это разность квадратов чисел a и b . Выражение a 2 - b 2 представляет собой сокращённый способ умножения суммы двух чисел на их разность:

(a + b )(a - b ) = a 2 + ab - ab - b 2 = a 2 - b 2 ,

т. е. произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Из правила следует, что общая формула разности квадратов выглядит так:

a 2 - b 2 = (a + b )(a - b )

Это правило применяется к сокращённому умножению таких выражений, которые могут быть представлены: одно - как сумма двух чисел, а другое - как разность тех же чисел.

Пример. Преобразуйте произведение в двучлен:

(5a 2 + 3)(5a 2 - 3)

Решение:

(5a 2 + 3)(5a 2 - 3) = (5a 2) 2 - 3 2 = 25a 4 - 9

В примере мы применили формулу разности квадратов справа налево, то есть нам дана была правая часть формулы, а мы преобразовали её в левую:

(a + b )(a - b ) = a 2 - b 2

На практике все три рассмотренные формулы применяются и слева направо и справа налево, в зависимости от ситуации.